卷积拉普拉斯变换的应用

复变函数与积分变换习题班级姓名学号3622Laplace变换的应用、卷积1、用Laplace变换求解下列微分方程(1)1)0(),(2yteyyt;【解】设)()]([sYtyL,方程两边取Laplace变换,可得121)()0()(ssYyssY,代入初始条件,化简得1121)2)(1(1)(sssssY.由于tS21e21L,tSe111L,取Laplace逆变换,可得原方程的解为tttyee)(2.……………………………………………………………………………………………………………(2)1)0()0(,34yyeyyyt;【解】设)()]([sYtyL,方程两边取Laplace变换,可得11)(3)0(4)(4)0()0()(2ssYyssYysysYs,代入初始条件,化简得)3)(1(5)3()1(1)(2ssssssY.由于4e2e4e)3()1(1321ttttssL,ttssse2e)3)(1(531L,取Laplace逆变换,可得原方程的解为tttttye472ee43)(3.……………………………………………………………………………………………………………(3)0)0()0()0(,2yyyeyyt;【解】设)()]([sYtyL,方程两边取Laplace变换,可得21)0()()0()0()0()(23syssYyysyssYs,代入初始条件,化简得ssssssssY221)2)(1(1)(2342.由于2,1,0均为)(sY的一级极点,对上式取Laplace逆变换,可得原方程的解为复变函数与积分变换习题班级姓名学号37)2)(1(1)(21ssstyL2,1,0232264esstsss6e6e2e212ttt.(注：这里利用了Heavside展开式)……………………………………………………………………………………………………………2、设0,0,0)(1tettft,2,0,020,sin)(2tttttf,求)()(21tftf.【解】根据卷积的定义,有d)()()()(20121tfftftft,下面根据t的不同取值范围进行讨论.1)当0t时,显然有0)()(21tftf;2)当20t时,有d)()()()(20121tfftftftdesin)(0tt0)cos(sin21ette)ecos(sin21ttt;3)当2t时,有desin)()()(2021ttftf)1e(e212t.……………………………………………………………………………………………………………3、求下列函数Laplace变换中的卷积：(1)ttcossin;【解】根据Laplace变换意义下的卷积定义,有d)cos(sincossin0ttttdsinsindcossincos020tttt002)2sin21(sin21sincos21ttttttsin21.……………………………………………………………………………………………………………(2)teat)(.【解】根据Laplace变换意义下的卷积定义,有de)()()(0tttateatde)()(tatate.(注：这里利用了单位脉冲函数的筛选性质)……………………………………………………………………………………………………………