历届全国初中数学联赛试题1993

一九九三年第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612xx除以12x的余式是(A)1;(B)-1;(C)1x;(D)1x;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x是实数,11xxy.下列四个结论:Ⅰ.y没有最小值;Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.其中正确的是(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ4.实数54321,,,,xxxxx满足方程组.;;;;52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中54321,,,,aaaaa是实常数,且54321aaaaa,则54321,,,,xxxxx的大小顺序是(A)54321xxxxx;(B)53124xxxxx;(C)52413xxxxx;(D)24135xxxxx.5.不等式73)1(12xxx的整数解的个解(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于56.在ABC中,BCAOOA,,是垂心是钝角,则)cos(OCBOBC的值是(A)22(B)22(C)23(D)21.答()7.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:n:p等于(A)cba1:1:1;(B)cba::(C)CBAcos:cos:cos(D)CBAsin:sin:sin.答()8.13333)919294(3可以化简成(A))12(333;(B))12(333(C)123(D)123答()二.填空题1.当x变化时,分式15632212xxxx的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程kxx)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.4.锐角三角形ABC中,30A.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,则S1:S2=___________.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积HBCABCSS的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程0022bcxxcbxx及分别各有两个整数根21,xx及21,xx,且,021xx021xx.(1)求证:;0,0,0,02121xxxx(2)求证:1b≤c≤1b;(3)求cb,所有可能的值.