功率谱估计模型法

功率谱估计--参数估计方法周期图法的不足估计方法的方差性能差在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算分辨率低样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)参数模型功率谱估计MA模型AR模型ARMA模型平稳随机信号的参数模型如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱密度满足下式：其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。2()()|()|yyxxhPwPwHw平稳随机信号的参数模型如果系统输入为白噪声信号u(n)，其功率谱密度为常数σ2，则输出信号功率谱密度Pxx(w)完全由系统传递函数|H(w)|2决定，因此我们通过对H(w)进行建模，从而得到输出信号的功率谱密度。H(z)u(n)x(n)平稳随机信号的参数模型在上图中，输入u(n)为白噪声信号，其方差为σ2，则系统输出x(n)的功率谱密度Pxx(w)为：22()|()|xxPwHw平稳随机信号的参数模型因此我们利用确定性系统传递函数H(z)的特性去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参数模型功率谱估计。参数模型功率谱估计的步骤：对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确定H(z)的参数利用H(z)估计x(n)的功率谱。平稳随机信号的参数模型H(z)的模型：AR模型：auto-Regressive此模型只有极点，没有零点，对应其幅度谱结构存在谱峰11()1piiiHzaz平稳随机信号的参数模型MA模型：Moving-Average此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存在谱谷点。1()1qiiiHzbz平稳随机信号的参数模型ARMA模型：此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在谱峰、谱谷111()1qiiipiiibzHzaz系统模型对于一阶全极点传递函数传递函数所对应的幅度响应实际上是：11()1Hzaz||1|()|||||zHzzaza当a0当a0系统模型对于二阶的全极点传递函数其对应的幅度响应？由于传递函数中，a、b均为实数，且要求极点在单位圆内，因此传递函数的极点应该是共轭对称的。121()1Hzazbz系统模型极点位置在[0π/2]内时系统模型极点位置在[π/2π]内时系统模型对于二阶的全零点系统零点的位置没有限定要求，那么其幅度响应12()1Hzazbz当零点在[0π/2]内时在零点在[π/2π]内时AR模型估计功率谱密度假设u(n)、x(n)都是宽平稳的随机信号，其中u(n)为白噪声，方差为σ2，推导H(z)的模型参数ai与数据x(n)的关系，即所谓AR模型的正则方程(NormalEquation)。11()1piiiHzazAR模型估计功率谱密度根据输入、输出、系统脉冲响应的关系等式两边同乘以x(n-m)，同时取期望运算1()()()pkkxnunaxnk1[()()]{[()()]()}pkkExnxnmEunaxnkxnm1()[()()][()()]pxxkkrmaExnkxnmEunxnmAR模型估计功率谱密度这里首先考虑rxu(m)的求解这里h(k)为H(z)的无限长脉冲响应0()[()()]{[()()]()}xukrmExnunmEhkunkunm1()()()pxxkxxxukrmarmkrmAR模型估计功率谱密度由于系统输入u(n)为白噪声信号，因此：这样rxu(m)为：20()[()()]0uumrmEununmelse202()()()()xukrmhkkmhmAR模型估计功率谱密度而h(m)为系统H(z)的脉冲响应，由于H(z)为因果系统，因此：这样，互相关函数rxu(m)为：(0)0()01hmhmm2(0)0()01xuhmrmmAR模型估计功率谱密度由于h(0)为系统H(z)的脉冲响应，而：因此有h(0)=111()1piiiHzazAR模型估计功率谱密度根据上式以及rxu(m)的求解：1()()()pxxkxxxukrmarmkrm121()1()()0pkxxkxxpkxxkarmkmrmarkmAR模型估计功率谱密度将等式右侧的累加项移到等式左侧，这样上式就可以写成方程组的形式：121()()=01(0)()0pxxkxxkpxxkxxkrmarmkmrarkmAR模型估计功率谱密度在方程组的形式中，由于H(z)模型参数ai为p个，以及白噪声方差σ2，因此需要p+1个方程就可以求解，同时根据自相关函数的对称性，将方程组展开为矩阵形式：AR模型估计功率谱密度这就是AR模型的正则方程，也称为Yule-Walker方程。2121(0)(1)(2)()(1)(0)(1)(1)0(2)(1)(0)(2)0()(1)(2)(0)0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxpxxxxxxxxrrrrparrrrparrrrparprprprAR模型估计功率谱密度得到AR模型的参数，就可以估计功率谱密度：221ˆ()|1|ARpjwkkkPwaeAR谱估计特点谱估计的特征在谱峰值处，AR谱和信号谱很接近谱谷底位置，则相差比较大。01000200030004000500060007000-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4050100150200250300-1-0.500.5100.511.522.533.5-50050FFT谱LPC谱加窗时域信号清音050100150200250300-1-0.500.5100.511.522.533.5-40-30-20-100102030时域信号FFT谱LPC谱AR模型与线性预测的关系线性预测系数aj构成的全极点滤波器H(z)：其逆过程为：G(z)S(n)E(n)AR模型与线性预测的关系AR模型：对应的输入、输出关系：11()1piiiHzaz1()()()piisnenasniAR模型与线性预测的关系那么：11()()()()()()piipiisnenasnisnasnien1()(1)()piiisnazen1()1piiiGzazAR模型与线性预测的关系这里我们发现线性预测过程是AR模型估计功率谱的逆过程。当预测器的阶数和AR模型的阶数相同时，对应的预测器系数h和AR模型参数ai才有一一对应的关系。h(n)x(n)e(n)AR模型功率谱估计性能分析周期图法中由于自相关函数rxx(m)的长度为2N-1，因此相当于对真实的自相关函数进行了加窗处理，自相关函数的取值范围在[-(N-1)N-1]内，在此范围外的值为零值，从而导致了估计的功率谱密度受到窗函数谱的影响，降低了分辨率。AR模型对功率谱估计的改进实际上体现在对自相关函数的延拓特性上，没有将估计的自相关函数取值限制在[-(N-1)N-1]的范围内。AR模型功率谱估计性能分析根据Yule-Walker方程可知：首先估计p+1个自相关函数rxx(0)，rxx(1)，…，rxx(p)后，可以根据上式得到AR模型参数ai。这样，就根据ai得到对p之后的自相关函数进行拓展：121()1()()0pkxxkxxpkxxkarmkmrmarkmAR模型功率谱估计性能分析这里mp，因此我们利用p个估计的自相关函数，可以对mp所有的自相关函数rxx(m)进行延拓，从而提高了自相关函数窗的长度，增加了功率谱估计的频域分辨率。1()()pxxkxxkrmarmkAR模型阶数p的选择如果模型的阶数过小，则会增加对功率谱的平滑作用，降低谱的分辨率但如果阶数太高，虽然会降低预测误差的方差，但会导致谱峰的分裂，增加估计误差。这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情况。AR模型阶数p的选择AR模型阶数p的选择AR模型阶数p的选择在进行AR谱估计时，首先需要确定阶数p。p的选择可以基于以下三种准则进行。最终预测误差准则(FPE)其中k为阶数，N为样本数据x(n)的长度，而ρk表示k阶AR模型得到的白噪声方差。上式最小值对应的阶数为最终选择的阶数。ˆ()kNkFPEkNkAR模型阶数p的选择阿凯克信息论准则(AIC)同样选择使上式最小的k值作为模型的阶数。AIC准测和FPE准则在样本数据x(n)长度较长时，估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数据，建议使用AIC准则。ˆ()ln2kAICkNkAR模型阶数p的选择自回归传递函数准则(CAT)同样使得上式最小的k为模型阶数。111ˆ()ˆkiikNiCATkNNAR模型参数的求解自相关法利用Yule-Walker方程得到AR模型参数ai：221ˆ()|1|ARpjwkkkPwae12(0)(1)(1)(1)(1)(0)(2)(2)(1)(2)(0)()xxxxxxxxxxxxxxxxpxxxxxxxxarrrprarrrprarprprrpAR模型参数的求解Yule-Walker方程中的自相关函数rxx(m)为有偏估计值：21(0)()pxxkxxkrark1||01()()()NmxxnrmxnxnmNAR模型估计功率谱密度系数矩阵不仅仅是对称的，而且沿着和主对角线平行的任意一条对角线上的元素都相等，这样的矩阵称为Toeplitz矩阵，可以利用Levinson-Durbin递推算法得到p个参数ai以及方差σ2。AR模型估计功率谱密度如果采用有偏估计得到自相关函数，就可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型参数，并且可以保证求解的系数ai在单位圆内，即保证AR模型的稳定性。这种方法称为自相关法同时自相关法计算的白噪声信号功率会随着阶数的增加而减小或者保持不变。AR模型估计功率谱密度但自相关法也存在一定的问题，由于在求解自相关函数的时候，进行了矩形加窗处理，降低了分辨率。同时当样本数据长度较短时，估计误差会比较大，出现谱峰偏移和谱线分裂。AR模型估计功率谱密度协方差法(1)(1,1)(2,1)(,1)(0,1)(2)(1,2)(2,2)(,2)(0,2)(1,)(2,)(,)(0,)()pxxxxpxxxxxxxxparrrprarrrprrprprpprpapAR模型估计功率谱密度其中的自相关函数为：同时白噪声的方差为：1*1(,)()()NxnprklxnlxnkNp21(0,0)(0,)pxxkxxkrarkAR模型估计功率谱密度计算自相关函数时，样本数据的取值范围与自相关法不同，这样保证了不对样本数据进行矩形窗的截断，因此如果样本函数的长度较短时，可以获得比自相关法更好的谱分辨率。如果样本函数的长度远远大于阶数p时，自相关法和协方差法的性能是差不多的。同时协方差法求解的是非Toeplitz阵，不能用迭代的方法计算，因此运算复杂度较大。同时也不能像自相关法一样保证AR模型的稳定性。AR模型估计功率谱密度修正的协方差法与