初三数学上学期期末复习知识点总结加经典例题讲解

1初三数学上册期末复习资料加经典例题第一章、图形与证明（二）（一）、知识框架(二)知识详解2．1、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）2．2、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三2.直角三角形全等的判定：HL4.等腰梯形的性质和判定5.中位线三角形的中位线梯形的中位线注意：若等边三角形的边长为a，则：其高为：，面积为：。1.等腰三角形等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和判定：4个判定定理矩形的性质和判定：3个判定定理菱形的性质和判定：3个判定定理正方形的性质和判定：2个判定定理注注意：（1）中点四边形①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是；②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是；③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是；④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是。（2）菱形的面积公式：abS21（ba,是两条对角线的长）注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。即需要掌握常作的辅助线。（2）梯形的面积公式：lhhbaS21（l-中位线长）2线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。2．3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。2．4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线2．5、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）2.6、几种特殊四边形的性质3FEDCBA边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等菱形对边平行，四条边都相等对角相等对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角正方形对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角等腰梯形两条底边平行，两腰相等同一底上的两个角相等对角线相等2.7.几种特殊四边形的判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）一组对边平行且相等（4）两条对角线互相平分（5）两组对角分别相等矩形（1）有三个角是直角（2）是平行四边形，并且有一个角是直角（3）是平行四边形，并且两条对角线相等菱形（1）四条边都相等（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直正方形（1）是矩形，并且有一组邻边相等（2）是菱形，并且有一个角是直角等腰梯形（1）是梯形，并且两条腰相等（2）是梯形，并且同一底上的两个角相等（3）是梯形，并且对角线相等2.8、三角形的中位线：⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．区别三角形的中位线与三角形的中线。⑵三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．2.9、梯形的中位线：⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。⑵梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。（三）典型例题例题1、下列命题正确的个数是①如果一个三角形有两个内角相等，则此三角形是轴对称图形；②等腰钝角三角形是轴对称图形；③有一个角是30°角的直角三角形时轴对称图形；④有一个内角是30°，一个内角为120°的三角形是轴对称图形4A、1个B、2个C、3个D、4个答案：C解析：①两个内角相等，根据“等角对等边”知此三角形是等腰三角形，④根据三角形的内角和为180°，判断出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是轴对称图形，故①②④正确，故选C。例题2、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是A、两边之和大于第三边B、有一个角平分线垂直于这个角的对边C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°答案：B解析：A、D是任何三角形都必须满足的，C项直角三角形的两个锐角的和等于90°，等腰三角形不一定具有，B项等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，直角三角形不具有这个性质，故选B。例题3、等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则等腰三角形的面积为。答案：12解析：根据等腰三角形的性质，底边上的高垂直平分底边，所以由勾股定理得到底边的高为2254=9=3，所以等腰三角形的面积为183=122，故填12。例题4、在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【答案】A例题5、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE．，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【答案】(1)证明：如图1．GFEDACB123图3FEDACB图1GFEDACB图25∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F．∴∠CEF=∠F．∴CE=CF(2)∠BDG=45°(3)解：分别连结GB、GE、GC（如图3）∵AB∥DC，∠ABC=120°∴∠ECF=∠ABC=120°∵FG∥CE且FG=CE．∴四边形CEGF是平行四边形．由(1)得CE=CF，平行四边形CEGF是菱形．∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=12∠ECF=60°∴△ECG是等边三角形∴EG=CG，①∠GEC=∠EGC=60°∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．在平行四边形ABCD中，AB=DC．∴BE=DC．③由①②③得△BEG≌△DCG．∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°∴∠BDG=180°－∠BGD2=60°．例题6、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）6A．7B．9C．10D．11【答案】D例题7、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。试说明：EF与MN互相垂直平分。（学生自己思考）第四章、一元二次方程（一）知识框架7（二）、知识详解1、一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。2、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。当0b时，bax，bax；当b0时，方程没有实数根。2、配方法一般步骤：一元二次方程一元二次方程的概念一元二次方程的解法直接配方法因式分解法配方法公式法一元二次方程的探索一元二次方程的根的情况20(0)axbxca20(0),axbxca△0,方程有两个不相等的实根;△=0时,方程有两个相等的实根;△0时,方程无实根.一元二次方程的根与系数的关系方程20(0),axbxca的两根为12,xx,则12bxxa,12cxxa一元二次方程的应用数量关系等量关系列一元二次方程解应用题242bbacxa8（1）方程)0(02acbxax两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）配方，化成bax2)(（5）开方。当0b时，bax；当b0时，方程没有实数根。3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx4、因式分解法一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。3：一元二次方程根的判别式根的判别式1、定义：一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式。2、性质：当acb42＞0时，方程有两个不相等的实数根；当acb42＝0时，方程有两个相等的实数根；当acb42＜0时，方程没有实数根。4：一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21。（三）、典型例题例题1、下列方程中是一元二次方程的是（）A、2x＋1＝0B、y2＋x＝1C、x2＋1＝0D、1xx12解：C例题2、解方程（1）2410xx（2）210xx（3）x2＋3＝3(x＋1)解：（1）配方，得：（x＋2）2＝5，解得：x1＝－2＋5，x2＝－2－5（2）210xx924114152212bbacxa1152x2152x（3）原方程变为：x2－3x＝0，解得：1x＝0，2x＝3例题3、已知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0．……①(1)若x=-1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；(2)对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．解：（1）x=-1是方程①的一个根，所以1+m-2=0，解得m=1．方程为x2-x-2=0，解得，x1=-1，x2=2．所以方程的另一根为x=2．（2）acb42=m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+80，所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根．例题4、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．55(1+x)2=35B．35(1+x)2=55C．55(1－x)2=35D．35(1－x)2=55解：C例5：（2006南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：20024)401.0200)(23(xx解得：1x＝0.2，2x＝0.3答：应将每千克小型