双曲线中点弦存在性的探讨加工修改

双曲线中点弦存在性的探讨求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．无论使用点差法还是联立法，都要运用0来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．当00,Pxy（）在区域Ⅰ内时，有22002201xyab当00,Pxy（）在区域Ⅱ内时，有2200220xyab当00,Pxy（）在区域Ⅲ内时，有2200221xyab．利用上述结论，可以证明：当00,Pxy（）在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线22221xyab的弦AB两端点为11,Axy，22,Bxy，中点为00,Pxy（），则1202xxx，1202yyy，运用点差法得出AB的斜率2020xbkya①令直线AB的方程为00yykxx，即00ykxkxy②把②代入22221xyab，整理得222222222000020bakxkaykxxaykxab，222222222000024kaykxbakaykxab22222004abykxbak③把①代入③，整理得222222000022222041xyxyabyabab．双曲线渐近线方程为：byxa，若00,Pxy（）在Ⅱ内有00byxa，平方得222002byxa，2200220xyab，这时0，中点弦存在。若00,Pxy（）在Ⅲ区域内有00byxa，平方得222002byxa，双曲线上横坐标为0x的点纵坐标为：22021xyba，显然有0yy，即220yy成立，2220021xbya，化简得2200221xyab，这时0，则中点弦存在。因此当2200221xyab或2200220xyab，0成立，此时中点弦存在；若00,Pxy（）在Ⅰ区域内有00byxa，平方得222002byxa，双曲线上纵坐标为0y的点横坐标为：22021yxab，显然有0xx，即220xx成立，2220021yaxb，化简得2200221xyab，再由222002byxa2200220xyab则22002201xyab，这时0，中点弦不存在．例过点1,1Q作双曲线2212yx的弦MN，使Q点为MN的中点，则MN的方程为（）（A）210xy（B）210xy（C）230xy（D）不存在分析将210xy及2212yx联立得2220xx．此时，0，则选（D）．若运用上述区域法，只要判断1,1Q在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．