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同济大学高等数学(下)期中考试试卷1一.填空题(每小题6分)1.有关多元函数的各性质:(A)连续;(B)可微分;(C)可偏导;(D)各偏导数连续,它们的关系是怎样的?若用记号“XY”表示由X可推得Y,则()())()(.2.函数),(yxf22yxyx在点)1,1(处的梯度为,该点处各方向导数中的最大值是.3.设函数),(yxF可微,则柱面0),(yxF在点),,(zyx处的法向为,平面曲线00),(zyxF在点),(yx处的切向量为.4.设函数),(yxf连续,则二次积分1sin2),(xdyyxfdx.(A)ydxyxfdyarcsin10),(;(B)ydxyxfdyarcsin10),(;(C)ydxyxfdyarcsin10),(;(D)ydxyxfdyarcsin10),(.二.(6分)试就方程0),,(zyxF可确定有连续偏导的函数),(xzyy,正确叙述隐函数存在定理.三.计算题(每小题8分)1.设),(yxzz是由方程0),(zyzxf所确定的隐函数,其中),(vuf具有连续的偏导数且0vfuf,求yzxz的值.2.设二元函数),(vuf有连续的偏导数,且1)0,1()0,1(vuff.又函数),(yxuu与),(yxvv由方程组bvauybvaux(022ba)确定,求复合函数)],(),,([yxvyxufz的偏导数),(),(aayxxz,),(),(aayxyz.3.已知曲面221yxz上的点P处的切平面平行于平面122zyx,求点P处的切平面方程.4计算二重积分:Ddyxsin,其中D是以直线xy,2y和曲线3xy为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分Ldyyxdxyx)()(2222,L为曲线|1|1xy沿x从0增大到2的方向.五.(10分)球面被一平面分割为两部分,面积小的那部分称为“球冠”;同时,垂直于平面的直径被该平面分割为两段,短的一段之长度称为球冠的高.证明:球半径为R高为h的球冠的面积与整个球面面积之比为Rh2:.六.(10分)设线材L的形状为锥面曲线,其方程为:ttxcos,ttysin,tz(20t),其线密度zzyx),,(,试求L的质量.七.(10分)求密度为的均匀柱体122yx,10z,对位于点)2,0,0(M的单位质点的引力.同济大学高等数学(下)期中考试试卷2一.简答题(每小题8分)1.求曲线tztyttx3cos12sin3cos在点1,3,2处的切线方程.2.方程1lnxzeyzxy在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(yxzz或),(xzyy或),(zyxx?为什么?3.不需要具体求解,指出解决下列问题的两条不同的解题思路:设椭球面1222222czbyax与平面0DCzByAx没有交点,求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(yxfz具有二阶连续的偏导数,3xy是f的一条等高线,若1)1,1(yf,求)1,1(xf.二.(8分)设函数f具有二阶连续的偏导数,),(yxxyfu求yxu2.三.(8分)设变量zyx,,满足方程),(yxfz及0),,(zyxg,其中f与g均具有连续的偏导数,求dxdy.四.(8分)求曲线01,02yxxyz在点)110(,,处的切线与法平面的方程.五.(8分)计算积分)Dydxdye2,其中D是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域.六.(8分)求函数22yxz在圆9)2()2(22yx上的最大值和最小值.七.(14分)设一座山的方程为2221000yxz,),(yxM是山脚0z即等量线1000222yx上的点.(1)问:z在点),(yxM处沿什么方向的增长率最大,并求出此增长率;(2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点,即在该等量线上找一点M使得上述增长率最大,请写出该点的坐标.八.(14分)设曲面是双曲线2422yz(0z的一支)绕z轴旋转而成,曲面上一点M处的切平面与平面0zyx平行.(1)写出曲面的方程并求出点M的坐标;(2)若是.和柱面122yx围成的立体,求的体积.
本文标题:同济大学高等数学(下)期中考试试卷
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