北京交通大学2002年研究生入学考试信号与系统复试试题及答案

北京交通大学2002年硕士研究生入学考试试题注：为单位阶跃信号，为单位阶跃序列一、填空1.已知某系统的输入输出关系为（其中X(0)为系统初始状态，为外部激励），试判断该系统是（线性、非线性）（时变、非时变）系统。2.。3.4.计算=。5.若信号通过某线性时不变系统的零状态响应为则该系统的频率特性=，单位冲激响应。6.若的最高角频率为，则对信号进行时域取样，其频谱不混迭的最大取样间隔。7.已知某连续信号的单边拉式变换为求其反变换=。8.已知某离散信号的单边z变换为，求其反变换=。9.已知计算其傅立叶变换=。)(t)(k)0(2)()()(2Xdttdftftty)(tf________________32_________)221()32(dtttt_________)24()22(dttt},3,5,2{)()},3()({2)(021Kkfkkkfk)()(21kfkf________)(tf),(),()(00为常数tKttKftyf)(jH________)(th________)(tf)(Hzfm)2()()(tftftymaxT________),0)(Re(,)9(32)(222ssssessF)(tf________)3(,)3)(2(2)(2zzzzzzF)(kf________),2(,)(2)(52tdeetytt)(jY________10.某理想低通滤波器的频率特性为，计算其时域特性=。二、简单计算题1.已知某系统如图A-1所示，求系统的各单位冲激响应。其中图A-12.已知信号如图A-2所示，试画出波形。图A-23.已知信号和如图A-3所示，画出和的卷积的波形。图A-34.已知信号如图A-4所示，计算其频谱密度函数。其他0)(0mtjejH)(th________)()(),2()(),1()(23321tethtethtthtt)(tf][1kh)(ty][2kh][3kh)22(tf)24(tf1-1-2201-1t)22(tf)(tf)(tg)(tf)(tg-1110)(tft012)(tgt)(tf)(jF图A-45.已知某连续时间系统的系统函数，画出其直接型系统模拟框图，并写出该系统状态方程的输出方程。6.试证明：用周期信号对连续时间带限信号(最高角频率为)取样，如图A-5所示，只要取样间隔，仍可以从取样信号中恢复原信号。图A-5三、综合计算题1.已知描述某线性时不变因果连续时间系统的微分方程为已知在s域求解：(1)系统的单位脉冲响应及系统函数；(2)系统的零输入响应(3)系统的零状态响应(4)若，重求(1)、(2)、(3)。2.已知描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为)(tf22-20t3572)(2ssssH)(tfT)(tfmmT)(tfs)(tf)(tf)(tfT)(tfs)(tfTt12/2/TT)()(2)(10)('7)(tftftytyty,3)0(',4)0(),()(yytetft)(th)(sH)(tyx)(tyf)1()()1(tetft在z域求解：(1)系统的单位脉冲响应及系统函数；(2)系统的零输入响应；(3)系统的零状态响应；(4)系统的完全响应，暂态响应，稳态响应；(5)该系统是否稳定?3在图A-6所示系统中，已知输入信号的频谱，试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱图，求出与的关系。图A-60)1(3)(2)2(81)1(43)(kkfkfkykyky1)2(,2)1(),()(yykkf)(kh)(zH)(kyx)(kyf)(ky)(tf)(jF)(ty)(tf1)(1jH1008080100)(2jH11515)(ty)(tfABCDE)(jF21010)100cos(t)100cos(t参考答案一、解：1.系统为线性时变系统。2.利用冲激信号的展缩特性可得由于积分区间不包含冲激，故3.和的波形如图A-7所示，由此可以计算出图A-74.，利用排表法可得5.系统的频率特性，单位冲激响应。6.信号的最高频率为，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号的最高频率。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故的最高频率为。根据时域抽样定理，对信号取样时，其频谱不混叠得最大取样间隔为3232)4()32(2)221()32(dttttdtttt)4(t320)221()32(dtttt)24(),22(tt)24()22(tt1)24()22(21dtdttt0001111212ttt)22(t)24(t)24()22(tt}4,2,1{)}3()({2)(1kkkfk}12,26,21,9,2{)()(21kfkf0)(tjKejH)()(0ttKth)(tf)(Hzfm)2(tf)(2Hzfm)(tf)2(tf)(3Hzfm)(tf)2(tfmaxT)(6121maxmaxsffTm7.8.9.利用傅立叶变换的卷积特性可得10.计算的傅立叶反变换即得二、解：1.2.，根据信号变换前后的端点函数值不变的原理，有变换前信号的端点坐标为，利用上式可以计算出变换后信号的端点坐标为由此可画出波形，如图A-8所示。)0)(Re(,9392)9(32)(222222ssesssssessF)()3sin3cos2()(2ttettf111112311211)31)(21(2)3)(2(2)(zzzzzzzzzzF)(])3(2[)]([)(1ksFzkfkk)()2()2(,)(522)(52tetetdeetytttt107)(512)(24224jjejjeejYjj)(jH)]([2121)(21)(0)(00ttSadtedteedtejHthmmttjtjtjtjmm)()2()1()1(21)3()1(3)()()2()()()1()2()1()]()2([)]()1([)]()([)]()([)(23)1(2)3(36232323321teteteteetettettettettetettththtththtttttttttt)24()22(tftf)24()22(111tftf)24()22(222tftf2,221tt32/)224(,12/)2124(22211tttt)24(tf图A-83.和的卷积的波形如图A-9所示。图A-94.信号可以分解为图A-10所示的两个信号与之和，其中。由于根据时域倒置定理：和时移性质，有故利用傅立叶变换的线性特性可得-1-101231t)24(tf)(tf)(tg023123t)()(tgtf)(tf)(1tf)(2tf)]2([2)2(2)(1tttfjt1)()()()(jFtfjetFTjFj212)(2)]2([)()(6)]([)(222SatfFTjF)(62)(2)()()(2221SajejFjFjFj022t)(1tft322)(2tf0图A-105.将系统函数改写为由此可画出系统的直接型模拟框图，如图A-11所示。选择积分器的输出作为状态变量，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为图A-11，围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为6.利用周期信号频谱和非周期信号频谱的关系可以求出的傅立叶系数为由此可以写出周期信号的傅立叶级数展开式对其进行傅立叶变换即得的频谱密度取样信号利用傅立叶变换的乘积特性可得212135172)(sssssH1s1s2753)(ty--)(2tx)(1tx)(tf)()(21txtx)()(5)()(212tftxtxtx)(2)(7)(21txtxty)(tfTTnSaTSaTFnn2),4(2)4(2100220)(tfTntjnntjnnTenSaTeFtf00)4(2)(02)(tfT)(jFTnTnnSaTjF)()4(22)(002),()()(tftftfTsnTsnFnSaTjFjFjF)()4(2)()(21)(002从可以看出，当时，频谱不混迭，即仍可从取样信号中恢复原信号。三、解：1.对微分方程两边做单边拉斯变换得整理后可得(1)根据系统函数的定义，可得进行拉斯反变换即得(2)零输入响应的s域表达式为取拉斯反变换即得(3)零状态响应的s域表达式为取拉斯反变换即得(4)若，则系统单位冲激响应h(t)、系统函数和零输入响应均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为)(jFsm20)(jFsmT)(tfT)(tf)()12()(10)0(7)(7)0(')0()(2sFssYyssYysysYs)(10712107)0(7)0(')0()()(2)(2sFsssssyysysYsYsYfx532110712)()()(2ssssssFsYsHf)()3()(52teethtt53/1723/5107254)(2ssssssYx0,31735)(52teetyttx575.021125.0)1)(107(12)(10712)(22ssssssssFssssYf)()75.025.0()(52teeetytttf)1()()1(tetft)(sH)(tyx2.对差分方程两边进行z变换得整理后可得(1)根据系统函数的定义，可得进行z反变换即得(2)零输入响应的z域表达式为取z反变换可得系统零输入响应为(3)零状态响应的z域表达式为取z反变换可得系统零状态响应为)1()75.025.0()1()1(5)1(2)1(teeetytttf)()32()}2()1()({81)}1()({43)(1121zFzyyzzYzyzYzzY)(814313281431)2(81)1(81)1(43)(211211zFzzzzzyyzyzY1121141114211168143132)()()(zzzzzzFzYzHf)(])41(14)21(16[)]([)(1kzHFkhkk112112114118/52114/9814314181381431)2(81)1(81)1(43)(zzzzzzzyyzyzYx)(])41(85)21(49[)(kkykkx111121121113/404113/1421116)1)(81431(32)(8143132)(zzzzzzzzFzzzzYf)(]340)41(314)21(16[)(kkykkf