同角三角函数基本关系教案-人教A版数学必修四第一章1.2.2

人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第1页共12页第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2．1同角三角函数的基本关系课型：新授课课时：第一课时1、教学目标1.知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。2.过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。3.情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。2、教学重点和难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。难点：同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。3、专家建议在公式的推导中，教师是用创设问题的形式引导学生去发现关系式，多让学生动手去计算，体现了教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展的教学思想；人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第2页共12页通过两种不同的例题的对比，让学生能够明白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的象限有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了；课堂在完成例题及变式时要给予学生充分的时间思考与尝试，故对学生的检测只能安排在课后的作业中，作业可以检测学生对本节课内容掌握的情况，能否灵活运用知识进行合理的迁移，可以发现学生在解题中存在的问题‘4、教法与学法1．教法：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。2．学法：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。5、教具：计算机，多媒体投影，黑板6、教学过程设计6.1创设情境引入课题【师】我们看下面一个问题【板书/PPT】计算下列各式的值答案：1,1，33，3322(1)sin30cos30;22(2)sin90cos90;sin30(3);cos30sin60(4).cos60人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第3页共12页【师】思考：【板书/PPT】问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？问题2：你能否用代数式表示这两个规律？6.2自主学习推导公式【师】我们证明一下【板书/PPT】1．证明公式：（同角三角函数基本关系）（1）、平方关系:1cossin22（2）、商的关系:tancossin回忆：任意角三角函数的定义？学生回答：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）则：sin=y；cos=x，xytan引导学生注意：单位圆中122yx所以：sin²+cos²=122xy；cossin=tanxy由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系：consintan（2）平方关系：1sin22con说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin4cos41等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancot1(,)2kkZ；③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：2cos1sin，22sin1cos，sincostan等。人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第4页共12页6.3小组合作及时训练一、求值问题【师】我们看一下例1【板书/PPT】例1．已知3sin-5，并且是第三象限角，求cos,tan．变式1、已知12cos13，求sin,tan．解：（1）∵22sincos1，∴222234cos1sin1()()55又∵是第三象限角，∴cos0，即有4cos5，从而sin3tancos4【师】我们看一下变式【板书/PPT】变式1∵22sincos1，∴2222125sin1cos1()()1313，又∵12cos013，∴在第一或四象限角。当在第一象限时，即有sin0，从而3sin13，sin5tancos12；当在第四象限时，即有sin0，从而5sin13，sin5tan-cos12．【师】我们看一下变式【板书/PPT】变式2.已知tan0m，求sin和cos解：∵22sincos1，sintancos，∴2222(costan)coscos(1tan)1，即有221cos1tan，又∵tan为非零实数，∴为象限角。人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第5页共12页当在第一、四象限时，即有cos0，从而22211cos11mmm，221sintancos1mmm；当在第二、三象限时，即有cos0，从而22211cos11mmm，221sintancos1mmm．总结：1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。【师】我们看一下例2【板书/PPT】例2、已知cos2sin，求（1）cos2sin5cos4sin222sin2sincoscos（2）解：（1）2tancos2sin611222tan54tancos2sin5cos4sin222222222sin2sincoscos2sin2sincoscos=sin+cos2tan2tan1=tan135（2）强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cos,将分子、分母转化为tan的代数式；2“化1法”可利用平方关系1cossin22，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第6页共12页为tan的分式求值；二、化简【师】我们看一下例3【板书/PPT】例3．化简21cos620．cos620cos(360260)解因为cos260cos(18080)cos80【师】我们看一下变式【板书/PPT】变式、化简22sin1coscos1sincos0解因为sin|sin|,|cos|cos所以原式小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，三、证明恒等式【师】我们看一下例4【板书/PPT】例4．求证：cos1sin1sincosxxxx．证法一：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx．∴左边=2cos(1sin)cos(1sin)(1sin)(1sin)cosxxxxxxx1sincosxx右边．∴原式成立．2tan,0,2tan,0,22;2kk当22;2kk当322;2kk当3222;2kk当kZ人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第7页共12页证法二：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx．又∵22(1sin)(1sin)1sincoscoscosxxxxxx，∴cos1sin1sincosxxxx．证法三：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx．cos1sin1sincosxxxxcoscos(1sin)(1sin)(1sin)cosxxxxxx22cos1sin0(1sin)cosxxxx∴cos1sin1sincosxxxx．总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。题型四利用sinα±cosα与sinαcosα的关系【师】我们看一下例5【板书/PPT】例5已知0απ，sinα＋cosα＝，求tanα的解：由sinα＋cosα＝15①得sinαcosα＝－12250，又0απ，∴sinα0，cosα0，则sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1－2×－1225＝75②由①②解得sinα＝45，cosα＝－35，所以tanα＝sinαcosα＝－43.【师】我们看一下变式【板书/PPT】人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第8页共12页变式4已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．求sin3θ＋cos3θ的值．解依题意，方程判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≤0或a≥4，且sinθ＋cosθ＝a，sinθ·cosθ＝a，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝a2，即a2－2a－1＝0，∴a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，即sinθ＋cosθ＝sinθ·cosθ＝1－2.sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.【题后反思】(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意判断它们的符号．6.4总结反思，深化认识1.同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此22sincos1sintancos……．2.诸如sintancos，tancot1，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义3.利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．人教A版数学教案必修四第一章1.2.2第一课时第9页共12页6.6作业布置：1.课本P21A组10、11、122.优化设计本节6.7当堂检测1.若sinθ0，化简：sinθ1－cosθ·tanθ－sinθtanθ＋sinθ解∵tanθ－sinθtanθ＋sinθ＝sinθcosθ－sinθsinθcosθ＋sinθ＝sinθ－sinθcosθsinθ＋sinθcosθ＝1－cosθ1＋cosθ＝1－cosθ21＋cosθ1－cosθ＝1－cosθ2sin2θ＝1－cosθsinθ∴原式＝sinθ1－cosθ·1－cosθsinθ＝1.2.若sinA＝45，且A是三角形的一个内角，求5sinA＋815cosA－7的值．解：∵sinA＝4