2014年广东高考理科数学试题及详细答案

数学（理科）试题第1页（共8页）图1高中生2000名小学生3500名初中生4500名图2近视率/%301050O小学初中高中年级2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M，{0,1,2}N，则MNA．{0,1}B．{1,0,2}C．{1,0,1,2}D．{1,0,1}2．已知复数z满足(34)25iz，则zA．34iB．34iC．34iD．34i3．若变量,xy满足约束条件11yxxyy≤≤≥，且2zxy的最大值和最小值分别为m和n，则mnA．5B．6C．7D．84．若实数k满足09k，则曲线221259xyk与曲线221259xyk的A．焦距相等B．实半轴长相等错误!未找到引用源。C．虚半轴长相等D．离心率相等5．已知向量(1,0,1)a=，则下列向量中与a成60夹角的是A．(1,1,0)B．(1,1,0)错误!未找到引用源。C．(0,1,1)D．(1,0,1)6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A．200，20B．100，20C．200，10D．100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,llll，满足12ll，23ll，34ll，则下列结论一定正确的是A．14llB．14//llC．1l与4l既不垂直也不平行D．1l与4l的位置关系不确定8．设集合12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAxxxxxxi　，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx≤≤”的元素个数为A．60B．90C．120D．130数学（理科）试题第2页（共8页）AFEDCB图3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13题）9．不等式125xx≥的解集为．10．曲线25xey在点)3,0(处的切线方程为．11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．12．在ABC中，角CBA,,所对应的边分别为cba,,.已知bBcCb2coscos，则ba．13．若等比数列na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sincos和sin1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和2C交点的直角坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且2EBAE，AC与DE交于点F，则CDFAEF的面积的面积＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4fxAx，xR，且23)125(f．（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f．数学（理科）试题第3页（共8页）图4PABCEDF17．（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]1n1f(45,50]2n2f（1）确定样本频率分布表中121,,nnf和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．18．（本小题满分14分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，30DPC，AFPC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF平面ADF；（2）求二面角DAFE的余弦值．数学（理科）试题第4页（共8页）19．（本小题满分14分）设数列na的前n项和为nS，nS满足21234nnSnann，*nN，且315S．（1）求123,,aaa的值；（2）求数列na的通项公式．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的一个焦点为(5,0)，离心率为53．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点00(,)Pxy为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21.（本小题满分14分）设函数2221()(2)2(2)3fxxxkxxk，其中2k．（1）求函数()fx的定义域D（用区间表示）；（2）讨论()fx在区间D上的单调性；（3）若6k，求D上满足条件()(1)fxf的x的集合（用区间表示）．数学（理科）试题第5页（共8页）x2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CDBABADD二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~13题）9.(,3][2,)10.530xy11.1612.213.50（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.(1,1)15.9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）16.解：（1）55233()sin()sin12124322fAAA，解得3A.（2）由（1）得()3sin()4fxx，所以()()3sin()3sin()44ff222233(cossin)3(cossin)6cos22222所以6cos4，又因为)2,0(，所以210sin1cos4，所以331030()3sin()3sin()3sin344444f.17.（本小题满分12分）17.解：（1）17n，22n，170.2825f，220.0825f.（2）所求的样本频率分布直方图如图所示：（3）设“该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]”为事件A，4()1(10.2)0.5904PA，即至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]概率为0.5904.0253035404550日加工零件数频率组距0.0400.0240.0160.0560.064数学（理科）试题第6页（共8页）PABCEDFGHPABCEDFxyz18．（本小题满分14分）18.（1）证明：因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.因为在正方形ABCD中CDAD，又CDPDD，所以AD平面PCD.因为CF平面PCD，所以ADCF.因为AFCF，AFADA，所以CF平面ADF.（2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，则333(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(3,0,0),(,0,0),(,,0)444DACPEF.由（1）得(3,1,0)CP是平面BCDE的一个法向量.设平面AEF的法向量为(,,)xyzn，3(0,,0)4EF，3(,0,1)4EA，所以304304EFyEAxznn.令4x，则0y，3z，所以(4,0,3)n是平面AEF的一个法向量.设二面角DAFE的平面角为，且(0,)2所以43257cos19219CPCPnn，所以二面角DAFE的平面角的余弦值为25719.方法二：过点D作DGAE于G，过点D作DHAF于H，连接GH.因为CDPD，CDED，EDADD，所以CD平面ADE.因为FE∥CD，所以FE平面ADE.因为DG平面ADE，所以FEDG.因为AEFEE，所以DG平面AEF.根据三垂线定理，有GHAF，所以DHG为二面角DAFE的平面角.设正方形ABCD的边长为1，在Rt△ADF中，1AD，32DF，所以217DH.在Rt△ADE中，因为1124FCCDPC，所以1344DEPD，所以5719DG.所以226133133GHDHDG，所以257cos19GHDHGDH，所以二面角DAFE的平面角的余弦值为25719.数学（理科）试题第7页（共8页）19.（本小题满分14分）19.解：（1）当2n时，2123420Saaa，又312315Saaa，所以3342015aa，解得37a.当1n时，11227Saa，又128aa，解得123,5aa.所以1233,5,7aaa.（2）21234nnSnann①当2n≥时，212(1)3(1)4(1)nnSnann②①②得12(22)61nnnananan.整理得12(21)61nnnanan，即1216122nnnnaann.猜想21nan，*nN.以下用数学归纳法证明：当1n时，13a，猜想成立；假设当nk时，21kak，当1nk时，21216121614161(21)232(1)122222kkkkkkkkaakkkkkkkk，猜想也成立，所以数列na的通项公式为21nan，*nN.20.（本小题满分14分）20.解：（1）依题意得5c，53cea，所以3a，2224bac，所以椭圆C的标准方程为22194xy（2）当过点P的两条切线12,ll的斜率均存在时，设100:()lyykxx，则2001:()lyyxxk联立2200194()xyyykxx，得2220000(49)18()9()360kxkykxxykx，所以22220000(18)()4(49)[9()36]0kykxkykx，整理得2200()49ykxk，即2220000(9)240xkxyky，因为12ll，所以201220419ykkx，整理得220013xy；当过点P的两条切线12,ll一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为(3,2)或(3,2)，均满足220013xy.综上所述，点P的轨迹方程为2213xy.数学（理科）试题第8页（共8页）21.（本小题满分14分）21.解：（1）221()(23)(21)fxxxkxxk，由22(23)(21)0xxkxxk，得223xxk或221xxk，即2(1)2xk或2(1)2xk，所以1212kxk或12xk或12xk，其中2k.所以函数()fx的定义域(,12)(12,12)(12,)Dkkkk.（2）令222()(2)2(2)3gxxxkxxk，则1()()fxgx，xD22()2