名校之门2011届高三数学精品复习之(07)三角变换

2011届高三数学精品复习之三角变换1．若α∈)2,0(，则sinααtanα；角的终边“靠近”Y轴时，正弦、正切绝对值较大，角的终边“靠近”X轴时，余弦、余切绝对值较大。[举例1]若x∈)21,21(，求方程sinx=tanx解的个数。解析：在图象中要能体现出（0，2）上sinαtanα，注意：横纵坐标的长度单位要一致（21），（图象略）1个。[举例2]已知是第二象限的角，且2sin2cos，那么2sin+2cos的取值范围是A(-1、0)B(1、2)C(-1、1)D(-2、-1)解析：是第二象限的角，则2∈（k+4，k+2）k∈Z，（一、三象限中“靠近”y轴的部分），∵2sin2cos，∴2不在第一象限（第一象限正、余弦均为正，“靠近”y轴正弦较大），即2∈（2k+45，2k+23）k∈Z，2sin+2cos=)42sin(2，2+4∈（2k+23，2k+47），由图象知：)42sin(2∈(-2、-1)，选D。[来源:学*科*网][巩固1]若,16960cossinAA且4＜A＜2，则Atan的值为（）[来源:学科网]A．512或125B．512C．125D．1312[巩固2]⊿ABC的内角A满足：且tanA-sinA0,sinA+cosA0,则A的取值范围是___2．已知一个角的某一三角函数值求角的大小，一定要根据角的范围来确定；如：sin=m(|m|1),则=2k+arcsinm或=2k+-arcsinm；cos=m(|m|1),则=2k±arccosm;tan=m,则=k+arctanm，k∈Z等。两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinα=sinβ,则α=2k+β,或α=2k+-β，kZ;若cosα=cosβ,则α=2kβ;若tanα=tanβ,则α=k+β,kZ等。[来源:Z#xx#k.Com][举例1]已知sin2A=sin2B,则⊿ABC的形状为__________解析：∵sin2A=sin2B且2A+2B∈（0，2），∴2A=2B或2A+2B=A=B或A+B=2即⊿ABC是等腰或直角三角形。[举例2]已知sin=-21,∈(-23,-21)，求解析：sin=-21，则=2k-6或=2k65，k∈Z，又∈(-23,-21)∴=65。[来源:Z&xx&k.Com][巩固]如果111ABC的三个内角的余弦值分别等于222ABC的三个内角的正弦值，则（）A．111ABC和222ABC都是锐角三角形B．111ABC和222ABC都是钝角三角形C．111ABC是钝角三角形，222ABC是锐角三角形D．111ABC是锐角三角形，222ABC是钝角三角形[提高]已知∈(0，21)，则直线x+ytan+1=0的倾角A．B．2-C．2+D．-3.熟悉将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的套路。即：运用两倍角正（余）弦公式及半角公式降次、（其中sin2x=21(1-cos2x)，cos2x=21(1+cos2x)这两个公式使用频繁，必须牢记）再引入辅助角（特别注意3，6经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一）。这是三角变换中最常用的一套“组合拳”，要能娴熟而精准地使用。[举例]函数f(x)=6sinxcosx-8sin2x取得最大值时tan2x的值为。[来源:Zxxk.Com]解析：f(x)=3sin2x-4(1-cos2x)=3sin2x+4cos2x-4=5(53sin2x+54cos2x)-4=5sin(2x+)-4(其中tan=34),当且仅当2x+=2k+2即2x=2k+2-，k∈Z时函数f(x)取得最大值，此时tan2x=tan(2k+2-)=cot=43。注意：上述过程中“5(53sin2x+54cos2x)-4”这一步最好不要跳过，它是保证辅助角不出错的最重要的关口。[巩固]函数2()3sin(2)2sin()().612fxxxxR的最大值为4．求具体角的三角函数值的一般方法：角负化正、大化小。必须熟记常用几个特殊角的三角函数值，很多“疏忽”皆源于此；而在“无条件”求值问题中，恰倒好处地运用特殊角三角函数值又往往是解题的关键。[举例]00070cos160cos80cos2的值是：（）A．-21B．-23C．-3D．-2解析：用两倍角公式，很快就会发现进行不下去。尝试“大化小”，原式=00020sin20cos10sin2=320sin20sin320sin20cos)2030sin(2000000，选C。（把100换成300-200是关键）。[来源:学*科*网][巩固1]0000040cos170sin)10tan31(50sin40cos=[巩固2]40cos270tan10sin310cos20cot=[迁移]若1sin()63，则2cos(2)3(A)97(B)31(C)31(D)975.三角变换中遇到形如：sinα±cosα=m的条件，如果是研究性质的问题，常“合二为一”；如果是求值的问题，常两边平方，得到sinαcosα的值并判断出sinα、cosα的符号，再与sinα±cosα=m联立，解方程组。sinα±cosα与sinαcosα“三兄妹”关系密切，要做到见此及彼；其中sinαcosα=21[（sinα+cosα）2-1]=21[1-（sinα-cosα）2],sinα+cosα与sinα-cosα通过sinαcosα实现过渡.[举例]已知),0(，若51cossin，求tan的值。解析：思路一：联立方程51cossin①和1cossin22②，解得：53cos54sin或54cos53sin∵),0(∴sin0,后一组接舍去，∴tan34。[来源:学#科#网]思路二：由①平方得：2512cossin③，联立①③运用韦达定理求得两组sin和cos的值，舍去一组后得出tan的值。思路三：利用③容易求得2549)cos(sin2，注意到2512cossin0即sin和cos异号，∵),0(∴sin0,cos0；∴57cossin④；联立①④得到sin和cos的值，再求出tan的值。思路四：由①平方得：25242sin0，∵),0(∴sin0,cos0，∴),2(；又51cossin0,∴tan∴)43,2(∴)23,(2∴2cos257再用半角公式求出sin和cos的值。[巩固]若2cossin，则cottan等于（）A.1B.2C.–1D.–2[迁移1]设θ是三角形的一个内角，且Sinθ+Cosθ=713，则方程x2Sinθ+y2Cosθ=1表示的曲线是（A）焦点在x轴上的椭圆（B焦点在y轴上的椭圆（）（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线[迁移2]函数20,1cossincossin)(xxxxxxf的值域为6.能熟练掌握由tanα的值（m）求sinα、cosα的值的方法：若α是锐角，就根据tanα的值画一个直角三角形，在该直角三角形中求sinα、cosα；若α不一定是锐角，则由方程组：sinα=mcosα,sin2α+cos2α=1解得，或“弦化切”。在三角变换中，要注意1的功用。“弦化切”时常把1化为正弦与余弦的平方；在三角变换中常用两倍角余弦公式消去1,如：xx2cos22cos1，xx2sin22cos1，，xxcos22cos1，xxsin2cos1等,此外xxxcossin2sin1.[举例]已知mtan,其中为第二象限角,求(1)sin,cos的值;(2)22cos3cossin2sin的值;解析：（1）将cossinm代入1cossin22得：（21m）2cos=12cos=211m，又为第二象限角，∴211cosm，costansin=21mm（2）原式=1321tan3tan2tancossincos3cossin2sin22222222mmm。（分子、分母同除以2cos是“弦化切”的基本动作）[巩固]已知2sin-cos=1求sin+2cos的值。[迁移]设向量a=（1+cosα，sinα），b=（1-cosβ，sinβ），c=（1，0），α∈（0，），β∈（，2），a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1―θ2=3，求2sin的值。7．给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得。[举例1]设α、β均为锐角，cosα＝71，cos(α+β)=－1411,则cosβ＝＿＿＿.[来源:学科网]解析：∵α、β均为锐角，∴sinα=734,sin(α+β)=1435,cosβ=cos[(α+β)-α]=(－1411)71+1435734=21.(此类问题不宜解方程组)[来源:学科网][举例2]已知)2sin(sin5，则cot)tan(的值解析：=+-，2+=++，∴)sin()sin(5sin)cos(cos)sin(sin)cos(5cos)sin(5sin)cos(6cos)sin(4cot)tan(=23。（这里“变角”的灵感与“给值求值”的做法一脉相承）。[巩固]已知向量)sin,(cosa，)sin,(cosb，|ba|=552，[来源:学科网]（1）求)cos(的值（2）若,02,20且135sin，求sin的值[迁移]已知是锐角，sin=x,cos=y,cos()=－53，则y与x的函数关系式为（）A．y=－5321x+54x(53x1)B．y=－5321x+54x(0x1)[来源:学&科&网]C．y=－5321x－54x(0x53)D．y=－5321x－54x(0x1)简答1.,[巩固1]B[巩固2]（43,2）;2.[巩固]易见111ABC是锐角三角形，若222ABC是锐角三角形，与三角形内角为矛盾，选D，[提高]记直线倾角为，tan=-cot=tan(2+),确定角的范围后选C，3、[巩固]3，,4.[巩固1]2，[巩固2]2，[迁移]注意：6-与3+互余，选A;[来源:Zxxk.Com]5.[巩固]B，[迁移1]C，[迁移2]记：sinx+cosx=t(1≤t≤2),f(x)=21(t-1)∈[0，212]6.[巩固]2sin=1+cos，得sin2cos2=2cos22,得cos2=0或tan2=2,再对sin+2cos使用“万能公式”或化成半角后“弦化切”求得值为：-2或2。[迁移]221sincos)1(cos1cos=cos222cos22=cos2,2sincos222sin2sin)cos1(cos1cos2222=)22cos(，∵2∈（0，2），22∈（0，2），∴θ1=2,θ2=22,∴2sin=sin(θ1-θ2-2)=sin(-6)=-21。7.[巩固](1)53,(2)6533,[提