名校之门2011届高三数学精品复习之(08)三角函数的图象性质

2011届高三数学精品复习之三角函数的图象、性质1．研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函数y=|Asin(ωx+φ)|的周期是函数y=Asin(ωx+φ)周期的一半。[举例]函数)2cos()2sin(xxy在2x时有最大值，则的一个值是,A、4B、2C、32D、43[来源:学科网]解析：原函数可变为：)2sin(21xy，它在2x时有最大值，即22=2k+2=（k-1）+4，k∈Z，选A。（万不可分别去研究)2sin(x和)2cos(x的最大值）。[巩固]①函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是；[来源:学科网ZXXK]②函数y=tanx―cotx的周期为；③函数y=|21+sim2x|的周期为。2．在解决函数y=Asin(ωx+φ)的相关问题时，一般对ωx+φ作“整体化”处理。如：用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，应取ωx+φ=0、2、、23、2等，而不是取x等于它们；求函数y=Asin(ωx+φ)的取值范围时，应由x的范围确定ωx+φ的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sin(把ωx+φ视为一个整体，即)的草图，而无需画y=Asin(ωx+φ)的图象；求函数y=Asin(ωx+φ)（ω0）的单调区间时，也是视ωx+φ为一个整体，先指出ωx+φ的范围，再求x的范围；研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象对称性时，则分别令ωx+φ=k+2和ωx+φ=k（k∈Z）,从而得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线2kx对称，关于点（k，0）对称（k∈Z），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y轴且过函数图象的最高点或最低点，而对称中心是图象与“平衡轴”的交点）;对函数y=Acos(ωx+φ)也作完全类似的处理。[举例1]画出函数)62sin(xy在[0，]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。解析：作函数)62sin(xy的图象不是先作函数xysin的图象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描点作图。但不是在[0，]内取x=0、4、2、43、这五点，而是视62x为一个角，62x∈[6，613]，取62x=6、2、、23、2、613六个点，具体列表如下：62x[来源:学科网]62232613x06125[来源:学_科_网Z_X_X_K]321211y2110-1021描点、作图略。不难看出直线x6、x32都不是函数的对称轴，点（125，0）、（1211，0）也都不是函数图象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。[举例2]已知函数xxxy2sin3cossin，（1）指出函数的对称轴、对称中心；（2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在]12,32(上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的x的值。解析：)32sin(2xy-23，（1）对称轴：由32x=k+2得122kx，Zk；对称中心：由32x=k得x62k，∴函数图象的对称中心为（62k，-23）Zk。（2）由32x∈[2k-2，2k+2]得x∈[125k，12k]，Zk，∴[125k，12k]，Zk。（3）将32x视为一个角，∵]12,32(x∴∈]6,(，画函数siny的草图，观察∈]6,(时函数值的范围为[-1，21]，当且仅当=2时sin取得最小值-1，=6时sin取得最大值21；即x=125时原函数最小值-2-23，x=12时原函数最大值1-23。[巩固][巩固]有以下四个命题：①函数f(x)=sin(3－2x)的一个增区间是[125，1211]；②若函数f(x)=sin(x+)为奇函数，则为的整数倍；③对于函数f(x)=tg(2x+3)，若f(x1)=f(x2)，则x1－x2必是的整数倍；④函数y=2sin(2x+3)的图像关于点（3，0）对称。其中正确的命题是（填上正确命题的序号）[来源:Zxxk.Com][迁移]函数f(x)=2sin2x+3sin2x-1（0）①若对任意x∈R恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值；②若对任意x∈R恒f(x)≤f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性；[来源:学。科。网Z。X。X。K]③若f(x)在[0,4]上是单调函数,求整数的值；3．已知函数y=Asin(ωx+φ)+B（A0，ω0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值M、最小值m（最高、最低点的纵坐标），确定A、B（A+B=M,-A+B=m）；根据相邻的最大、最小值点间的距离d（最高、最低点的横坐标之差的绝对值）确定ω(d)，最后用最-264-4Oxy高（或最低）点的坐标代入表达式确定φ。[举例]已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ)的两个相邻最值点为(6,2),(32,－2),则这个函数的解析式为y=____________.解析：A=2，相邻最值点相距半个周期，即26322T，∴T=πω=2，则函数解析式为)2sin(2xy，点(6,2)在函数图象上，∴2=2sin(3+φ)3+φ=2k+2得φ=2k+6，Zk∴函数的解析式为)62sin(2xy。[巩固]函数y=Asin(ωx+φ)(ω0,|φ|2)的部分图象如右，则函数表达式为：A．y=－4sin(8x+4)，B．y=4sin(8x－4)，C．y=－4sin(8x－4)，D．y=4sin(8x+4)[来源:Zxxk.Com][迁移]如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(x+)+B[来源:学科网][来源:学+科+网]（A0，0,02),若x=0时，P在最高点，则函数表达式为：4.三角函数图象的平移变换、伸缩变换遵循“图进标退”原理:即图象向上（右）平移m(m0)个单位，则表达式中的y(x)应变为y-m(x-m);图象横（纵）坐标变为原来的n倍，则表达式中的x(y)应变为nx(ny)。关注“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。[举例]已知函数.21)4(,23)0(,23cossincos2)(2ffxxbxaxf且（Ⅰ）函数f（x）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？（Ⅱ）函数f（x）的图象经过怎样的平移后得到y=cosx.。解析：由.21)4(,23)0(ff得：23a，b=1，降次、“合二为一”后得：)(xf=sin(2x+3),(Ⅰ)思路一：函数y=f（x）的图象关于（－6，0）对称，向右平移6个单位后图象关于原点对称即为奇函数（平移的方法不唯一，因为函数y=f（x）的图象对称中心不唯一）；思路二：若函数f（x）的图象向右平移m个单位得到函数y=sin(2x－2m+3),要使其为奇函数，则x=0时函数值为0（奇函数图象关于原点对称），即－2m+3=k，Zkm=62k,Zk,随k的取值不同可以得到不同的m的值，回答其中任一个即可。（运算量PO虽大一些，但更具一般性）。[来源:Z。xx。k.Com](Ⅱ))(xf=sin(2x+3)=cos(6-2x)=cos(2x-6)=cos[2(x-12)],方案一：先左移12(x变成x+12)得到函数y=cos2x,再纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成2x）得到函数y=cosx；[来源:学*科*网]方案二：先纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成2x）得到函数y=cos(x-6)，再左移6(x变成x+6)得到函数y=cosx。注：（ⅰ）图象变换的问题要特别注意题目要求由谁变到谁，不要搞错了方向；（ⅱ）变换的源头和结果需化为同名的三角函数且角变量的系数同号（用诱导公式）才能实施；（ⅲ）如果已知变换的结果探究变换的源头，可以“倒行逆施”。[巩固1]把函数y=cosx-3sinx的图象向左平移m个单位（m＞0）所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是A.6B.3C.32D.65[巩固2]将函数)(xf=Acos(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|2)的图象向右平移8，再横坐标伸长为原来的2倍、纵坐标缩小为原来的一半得到函数y=sinx，则)(xf=。5．三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当B=600；在△ABC中：ABsinAsinB；sin(B+C)=sinA、cos(B+C)=-cosA、cos2CB=sin2A、sin2CB=cos2A；△ABC中cosA+cosB0,cosB+cosC0,cosA+cosC0；在锐角三角形△ABC中sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA等；若A、B是钝角三角形两锐角，则sinAcosB,sinBcosA。等等[举例]在△ABC中，3cos(B+C)+cos(2+A)的取值范围是.解析：原式=AAsincos3=-2sin(A+3),∵A∈(0,)A+3∈(3,34)[来源:Z&xx&k.Com]sin(A+3)∈(-23,1],即原式的取值范围是：[-2，3）[巩固1]在锐角三角形△ABC中，设x=sinAsinB，y=cosAcosB，则x,y的大小关系是：()A．x≤y,B．xyC．x≥yD．xy[巩固2]在ABC中，已知CBAsin2tan，给出以下四个论断：①1cottanBA，②2sinsin0BA，③1cossin22BA，④CBA222sincoscos，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③简答1．[巩固]①2②2③4；2．[巩固]①②④，[迁移]f(x)=2sin(2x-6)，①由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知：x1、x2分别是函数y=f(x)的最小值、最大值点，最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得2，②偶，③视2x-6为一个角，则∈[-6，2-6]，函数sin2y在[-6，2-6]上单调，则2-6≤2，得0≤34,又为整数，∴=1。3．[巩固]注意A未必是正数，C，[迁移]y=3sin(152x+2)+24.[巩固1]C,[巩固2])(xf=2cos(2x-4)5.[巩固1]D，[巩固2]B，