北京大学数值分析试题2015

北京大学2014--2015学年第一学期研究生期末考试试题A(闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题(每空3分，共24分)(1)设1222A，则A的奇异值为。(2)设0.00013753x为真值0.00013759Tx的近似值，则x有位有效数字。(3)设数据123,,xxx的绝对误差为0.002，那么123xxx的绝对误差约为_____。(4))x(l,),x(l),x(ln10是以01,,,,(2)nxxxn为节点的拉格朗日插值基函数，则20(2)()nkkkxlx。(5)插值型求积公式2200()()nkkkxfxdxAfx的求积系数之和0nkkA。其中2x为权函数，1n。（6）已知(3,4),(0,1)TTxy，求Householder阵H使Hxky，其中kR。H=。(7)数值求积公式11211()()(0)()322fxdxfff的代数精度为___。(8)下面Matlab程序所求解的数学问题是。（输入向量x,输出S）x=input('输入x：x=');n=length(x);S=x(1);fori=2:nifx(i)S，S=x(i);else,continue;endendS二、(12分)（1）证明对任何初值0xR，由迭代公式124cos,0,1,2,...3kkxxk所产生的序列0kkx都收敛于方程1232cos0xx的根。（2）证明它具有线性收敛性。三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分40xedx的近似值；（2）若用复化辛浦生公式计算积分40xedx，问至少应将区间[0，4]多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？四、（12分）已知数据表2102230.510.5iiixyw（1）构造关于点集和权的正交函数组01{(),()}xx；（2）利用01{(),()}xx拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差2。五、(12分)利用Gauss变换阵，求矩阵2113113112A的LU分解。（要求写出分解过程）六、(10分)已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式1(1)()(1)()1,1,2,,inkkkkiiiijjijjjjiiixxbaxaxina（）（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，1时此迭代格式收敛。七、(10分)用插值极小化方法求xef)x(在[1，2]上的二次插值多项式)x(2P，并在[1，2]上估计误差。(已知Chebyshev多项式)(tT3的三个零点86600t0t86600t210.,,.)八、(8分)已知求解常微分方程初值问题00'()()()yxfxyyxy的数值格式为2100()'()[1()]2()nnnnnnnnhyyhfxyfxyfxyyxy问此数值格式是几阶格式？北京大学2014--2015学年第一学期研究生期末考试试题标准答案A(闭卷考试)课程名称:数值分析一、填空题(每空3分，共24分)（1）3（2）3（3）0.006（4）22x（5）83（6）4343--555534345555HH或（7）3（8）求向量x的最小值二、(12分)记2()4cos3xx，则2'()sin3xx。（1）先考虑区间[3，5]，当[3,5]x时，2()4cos[3,5]3xx，22'()sin133xx。故对任意初值0[3,5]x，由迭代公式124cos,0,1,2,...3kkxxk产生的序列0kkx都收敛于方程1232cos0xx的根。(6分)（2）对任意初值0xR，有1024cos[3,5]3xx，将此1x看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式124cos,0,1,2,...3kkxxk产生的序列0kkx都收敛于方程1232cos0xx的根。(2分)（3）****1**11**22(coscos)sin()33222sin,limlimsin1333kkkkkkxkkxxxxxxxxxxxxxx(4分)此格式线性收敛性三、（12分）（1）402404(4)56.10296xedxeee(5分)（2）(4)(),(),xxfxefxe由54(4)(4)45434()4|()||()||()|28802880411028802nbaRShffnen(5分)14.0371n至少将区间[0，4]15等分才能保证计算结果有五位有效数字.(2分)四、（12分）（1）首先构造关于点集和权的首一正交多项式(),0,1,ixi显然0()1x，设10()()xxax，由10()()xx与正交得000((),)21((),())2xxaxx故有1()1xx。(4分)（2）设20011()()()pxaxax，则01010011((),)((),)9/291/21,((),())24((),())12xyxyaaxxxx191()(1)42pxx(4分)2222000111||||((),())((),())Yaxxaxx2299116()2()10.1252428(4分)五、(12分)(2)111000210015100010,220010013100010012LLAA(3分)(2)(3)221000210001005010,220100013/51500120001LLAA(3分)(2)321000210001005010,200100013/51500100021/1313LLAU(3分)111122100011002,20105500113LLLLALU(3分)六、(10分)(1)1(1)()(1)()1,1,2,,inkkkkiiiiiiiijjijjjjiaxaxbaxaxin（）(1)()(1)()(1)()(1)1()1())()((1))()((1))()kkkkikkkkDxDxbLxUDxDLxDUxbxDLDUxDLb（(1)()11()((1))()kkxBxgBDLUDgDLb迭代迭矩阵右端向式量代法的矩阵形(6分)21A（）时，迭代格式为Gauss-seidel迭代格式，当严格对角占优时，Gauss-seidel迭代格式收敛。(4分)七、(10分)已知Chebyshev多项式)(tT3的三个零点86600t0t86600t210.,,.,作变量代换)(x3t21,得三个插值节点210k3t21kk,,),(x1.9330x1.5x1.0670x210,,0.1447xf0.2231xf0.3440f(x210)(,)(,)构造差商表()iixfx一阶差商二阶差商1.06700.34401.50000.22310.27921.93300.14470.18110.1133牛顿插值多项式22P(x)0.34400.2792(x1.0670)3.5863(x1.0670)(x1.5)0.11330.57010.8234xx(6分)001902216ettttttmax216exxxxxx6fxR2312101t-13121032.)())()(()())()(()()()((4分)八、(8分)2121112233()'()[1()]2()'()''()(4)2()'()''()()()'()''()22()(4)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnhyyhfxyfxyfxyhyxhyxyxEyxyhhyxhyxyxOhyxhyxyxOh分此格式二阶精度。分