剖析导数在解析几何中的应用

剖析导数在解析几何中的应用河北省唐山市丰南区唐坊高中陈维涛邮编：063308电话：[phone]QQ：346899232邮箱：[e-mail]导数是高中数学的新增内容，导数的引入大大丰富了高中数学的知识体系，拓宽了解决解析几何问题的思路。特别对研究曲线的切线和最值开辟了新的途径，带来了极大的便利。因为导数'0()fx的几何意义是曲线()yfx上点00(,())xfx处切线的斜率，所以解析几何中的有关切线和最值问题如果用导数来处理，就避免解析几何中的一些繁琐的计算。现举例如下：一、利用导数研究曲线的切线问题例1．已知椭圆22221xyab+=（0ab）的右焦点为Ｆ（,0c），过Ｆ与ｘ轴垂直的直线与椭圆相交于点Ｐ，过点Ｐ的椭圆的切线l与ｘ轴相交于点Ａ，则Ａ的坐标为解：由椭圆方程可知：椭圆位于第一象限内的部分可表示为：1222(1)xyba=-，∴122222(1)()2bxyxaa-¢=--，∴xccya=¢=-，又∵Ｐ（2,bca）∴切线方程为2()bcyxcaa，令0y得：2axc，∴Ａ点坐标为（2,0ac）点评：本题若采用常规的设切线方程再与椭圆方程联立，判别式等于０求切线将会十分繁琐，而采取求导的方式求切线的斜率使问题变得十分简捷清晰。例2．已知抛物线G：24xy=（1）求过点P（0，－4）的抛物线Ｇ的切线方程。（2）求点Ｑ（２，１）处的切线方程。解析：（１）设切点200()4xQx，．由2xy，可知抛物线在Q点处的切线斜率为02x，故所求切线方程为2000()42xxyxx．即20024xxyx=-．因为点(0)P，在切线上．所以2044x，2016x，04x．所求切线方程为24yx．（２）因为点Ｑ（２，１）在曲线上，所以由2xy，∴k=24xy，又该切线过点Ｑ（２，１）∴切线方程为470xy点评：导数的几何意义使得导数与解析几何的结合奠定了基础，通过切线二者实现了完美的融合，但要注意题目中的要求，是“某点处的切线”还是“过某点的切线”，因为给定点不一定是切点。如第一问中Ｐ不在抛物线上，当然更不是切点，第二问中的Ｑ是切点。二、利用导数研究曲线的最值问题例3．设a0，2f(x)axbxc，曲线yf(x)在点00(x,f(x))处切线的倾斜角的取值范围为[0,]4，则P到曲线yf(x)对称轴的距离取值范围为()A1[0,]aB1[0,]2aCb[0,||]2aDb1[0,||]2a分析：本题在导数的实际背景之一的切线斜率和倾斜角概念以及抛物线对称轴方程之间的关系来命题的。解：由2()fxaxbxc，从而'()2fxaxb，则曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线斜率'00()2kfxaxb，又曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线的倾斜角的取值范围为[0,]4，故有0≤k≤1，即0≤02axb≤1，而P到曲线()yfx对称轴的距离为00|2axb|b|x|2a2a，所以取值范围为1[0,]2a，选B。例4．在抛物线2yx2x1上求一点，使它到原点O的距离最小，并求出其最小值。分析：本题是圆锥曲线求最值的一类常规题目——求圆锥曲线上动点到某定点的距离的最值问题。解：设Px,y是抛物线上任一点，则22222OPxyxx2x1不妨设2S|OP|，则222(21)Sxxx4324341xxxx所以'3241264Sxxx13134(2)()()22xxx令S0，得1132x，2132x，32x经判断可知，当13,22x时,S取到极大值；当13x2时，S取到极小值。又因为xR，所以只需比较13S(),S(2)2即可。当132x时，1163S4；当x2时，S5，而116354由此抛物线上点1332(,)22到原点的距离最小，最小值为11634。沙场练兵：1、过双曲线2233yx上支上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于A、B，求证：OA·OB为定值。解：设P(00,xy)(0y＞0)，则0y=2033x，由233yx，求导得226323333xxyxx∴0002003333xxxxyyx∴切线方程为00003()xyyxxy即22000033yyyxxx∵220033yx∴0033yyxx易知双曲线的的渐近线方程为3yx设切线与3yx交于A(11,xy)，与3yx交于B(22,xy)，由00333yyxxyx得A(000033,33yxyx)由00333yyxxyx得B(000033,33yxyx)∴OAOB=00003333yxyx+00003333yxyx=222222000000396623333yxyxyx点评：本题综合程度较高，集中考查了双曲线的渐近线、导数、向量的知识，其中运用导数求得切线的斜率是关键，此外还需要有扎实的运算能力做保证2、如图所示，曲线段OMB是函数2()(06)fxxx的图象，BAx轴于A，曲线段OMB上一点(,())Mtft处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q。⑴试用t表示切线PQ的方程；⑵试用t表示△QAP的面积g(t),若函数g(t)在(m,n)上单调递减，试求出m的最小值；⑶若QAP121S[,64]4，试求出点P横坐标的取值范围。解：⑴、切线斜率k='ft2t，则切线方程为2yt2txt，即切线PQ方程为2y2txt(0x6)。⑵、令y0得tx2；令x6，2y12tt1gtAPAQ2=21t(6)(12tt)2232t6t36t(0t6)4由23gtt12t3604，得4t12，又0t6，4t6又已知gt在(m,n)上单调递减，m,n4,6，故minm4。⑶当0t4时，gt0，gt在0,4上单调递增g(4)169614464216121g(6)2162165444，解方程32t1216t36t(0t4)44，不难解得t1符合。QAP121S,64t1,64，又点P的横坐标tx2，1x,32即P点横坐标的取值范围为1,32。