关于数学物理必须要知道的常识

万门大学数学系2013-07-1309:58关于数学物理必须要知道的常识------------最有成效的学习策略系统的整理一些东西是比较麻烦的一件事情，把一个故事从头讲到尾需要很高的见地，查阅资料给出详细的论述也会很花时间。而现在网络的发达和信息资料的开放程度，使得大家可以很容易的直接了解和学习某个知识点某个专题，也使得大家可以不按照线性顺序或者讲故事的方法学东西，而是一种维基百科式的学习。维基百科的一个特点就是专业知识的常识化或者大众化。知识的表述更加通俗化，以更大的视角，更加社会化的方式包装知识，去专业化会更加有效的传播知识。维基百科对于知识的模块化做的是非常好的。模块化包装知识和模块化学习应该是网络时代最有效的学习方法。这篇日志就是按照模块化的思路来讲解数学物理的常识（可能也要很久才能完成）。传统的课本是以知识点和逻辑来讲解理论，知识点太多的话就很难在一开始就看到全貌。对于一个理论或者学科如何划分最有效？我认为是模块化，这样就可以避免知识点太多（分的太细太小）的麻烦。从模块组装成理论比用知识点堆积成理论要容易，另一个方面同一个模块可以在不同的理论中起作用，模块的可迁移性更好，这一点很类似于模块化编程。第一个常识：广义田中-克雷纳对偶（generalizedTannaka-Kreinduality)这个对偶性可以用公式表示为X《====》X-representation最一般的，这个对偶是讲一个代数系统和它的表示范畴包含了同样多的信息。这个对偶性也常被称为重构哲学。在很多理论中这个对偶性是作为最基本的motivation出现的。这个对偶性是数学物理中最常见，最常用的一个方法，所以我把它作为第一个常识。其实这个对偶性是一个更一般的对偶性的在“代数范畴”中特例（这个联系学术界恐怕还没有几个人意识到）。这个最一般的对偶性称为艾林博格-穆尔对偶（Eilenberg-Mooreduality）（当然我们也可以把这个对偶性解释成在2-category中的可表性或者Kan扩张）。我把它表述成定理的形式：Eilenberg-Mooretheorem：EverymonadisdefinedbyitsT-algebra.这个定理的证明非常简单，可以参考S.MacLane的CategoriesfortheWorkingMathematician,136页。为了看出艾林博格-穆尔对偶和田中-克雷纳对偶的关系我们需要并且只需要另外一个非常重要的工作：C.E.Watts,Intrinsiccharacterizationsofsomeadditivefunctor，Proc.Amer.Math.Soc.,vol.11(1960),pp.5-8.这个短短的只有四页文章给出了Hom和张量积函子的范畴性刻画。------------------------------------------------------------------------------------------------------------现在我们给出并解释田中-克雷纳对偶的一些特例1庞特里亚金对偶和傅里叶变换/交换调和分析这种情形是（局部紧拓扑/李/代数/...）阿贝尔群(阿贝尔概形)情形下的田中-克雷纳对偶。阿贝群的（复）不可约（连续）表示都是一维的（反之一维的肯定不可约），而且一个不可约表示完全由它的特征标表示。表示的直和和张量积对应于特征标的加法和乘积，共轭表示对应特征表的逆。对于阿贝群有个好处就是它们的（不可约）特征表都是群同态。但是不管这些，阿贝尔群的全体不可约特征标（关于乘法）构成一个阿贝尔群，称之为庞特里亚金对偶群。我们可以把庞特里亚金对偶这个构造看做是一个“函子”（函子性？朗兰兹基本引理？），这个构造具有幂等性或者対合性（convolution）（之所以称为对偶就是因为具有対合性）。这个对偶性我们在群代数或者群上函数上来看就是傅里叶变换及其対合性。2紧致拓扑群情形紧致拓扑群的情形是对阿贝尔群情形的推广，也把紧致拓扑群上的分析称为非阿贝尔调和分析。在紧群情形下的田中-克雷纳对偶也可以看做是一种非阿贝尔傅里叶变换。和上面的情况类似，我们也有不可约表示和特征标的一一对应，这个对应是自然的。当然不可约表示和特征标都和群的共轭类也存在一一对应，但是绝大多数的情况这个对应都不是典范的（cannonically）也不是唯一的。所有的特征标构成一个代数，叫做格罗滕迪克环或者表示环（K群），我们把这个表示环仍然称为”对偶群“，尽管它不是一个群。表示环的几何意义就是K群，K群的代数意义就是表示环。在这个情况下，为了得到对偶性或者対合性，我们要把表示环范畴化一下，也就是说我们要考虑群的所有表示构成的范畴（称为表示范畴或者模范畴），这个范畴是一个monoidalcategory，也是一个阿贝尔范畴。那么从表示环到表示范畴有什么好处呢？答案是我们有更多的信息，那就是intertwiner（表示范畴中的态射）。表示环包含的信息只能反映表示范畴objectclass的信息，morphismclass其本质反映的是某些函数在共轭类上的积分（轨道积分），更自然的讨论这些问题要在自守表示，几何表示论，和迹公式的框架下来讨论，我不想扯得太远，希望以后来专门讨论这个问题。在紧群的情况下，田中-克雷纳对偶的核心就是从一个群的表示范畴重构出这个群来。这个构造的核心就是考虑一个纤维化函子的自同构群。给定一个群G，考虑它的复表示范畴Rep-G，我们有一个天然的到向量空间范畴的纤维化函子U：Rep-G-----》Vect，那么Aut（U）就同构于G。当然这个定理可以推广到群概形上去。这个定理的证明类似于米田引理（Yanadalemma）并且本质上是和皮特-外尔定理相关的。我在这里要强调就是这里的纤维化函子或者中性函子本质上就是triple或者monad中的右伴随函子。也就是说在语法的层次上，重构定理就是艾林博格-穆尔构造，田中-克雷纳对偶是艾林博格-穆尔对偶在语义层次上的表现。比较好的参考文献：1AndréJoyalandRossStreet,AnintroductiontoTannakadualityandquantumgroups，1990。2P.Deligne,J.S.Milne,Tannakiancategories,Lect.notesinmath.900,101–228,Springer1982.或者参考nlab结合代数情形一个结合代数可以定义一个tripleormonad，这个triple的代数就是结合代数的左模，由艾林博格-穆尔定理显然可以重构4Hopf代数情形Hopf代数的代数部分和结合代数情形一样，余代数部分需要纤维化函子的张量结构来重构6盖尔方德对偶这个对偶说的是紧致豪斯道夫空间的范畴和交换C*代数的范畴是对偶的。在代数几何里，这个对偶变成代数簇（有限代数方程组）的范畴和交换诺特环的范畴是对偶的。这个情况和交换群的庞特里亚金对偶有点类似，因为（半单的）交换代数的不可约表示都是一维的，这个时候表示的不变量是特征值（谱点），而特征值可以看做代数上的泛函，这个泛函的零化子（kernel）是极大理想.所以我们就有一些对应a素理想（环上的代数几何）或者极大理想（代数闭域上的代数几何）b不可约表示c环或者代数上的（整/可除）泛函4傅里叶-马凯变换5森田等价6Hopfoperad7有理共形场论8两维拓扑场论，两维拓扑共形场论，同调场论8强同伦代数9非交换几何=======================================================5类域论和朗兰兹纲领这一部分不是很严格满足田中-克雷纳对偶的形式，或许我应该把它归到更加一般的对偶性里面去。一般的对偶是指两类东西相互决定的模式，形象地表示为为公式X====Y.----------------------------------------------------------------------------------------给出一些哲学上的解释，个人观点，只是个人的一个版本。有些东西还没有完全发展出来，但是我想告诉大家的是人们脑子里想的是什么东西，这些更底层的直觉是推广理论所必须的。类域论是代数数论中最漂亮最完整的一部分。它的推广非阿贝尔互反律是数学中最大的一个纲领：朗兰兹纲领的一部分。类域论类似于上面情况1，而非阿贝尔互反律类似于上面情况2。朗兰兹纲领主要涉及两个部分：一个是伽罗华表示（L函数），另一方面是motivetheory（Zeta函数）。伽罗华表示可以认为是反映伽罗华群的代数性质，motive方面则反映的是伽罗华群的“几何性质”。朗兰兹纲领涉及到5个方面的问题A伽罗华群的表示理论Bmotive理论C一般互反律/非阿贝尔类域论D代数群的自守表示和几何表示论E朗兰兹对偶理论A部分比较好解释，给定域的扩张就可以定义相应的伽罗华群，伽罗华理论的核心就是对于伽罗华扩张，扩域的子域结构和伽罗华群的子群结构可以相互确定，伽罗华群的表示理论就是来对伽罗华群的表示范畴的研究，比如分类，上同调等等B部分是格洛腾迪克的一个猜想的理论，是要在对整数环或者一般环上的几何建立一套类似于德拉姆上同调理论的一种上同调理论，把这样的理论成为motive。C部分可以认为是域扩张的伽罗华理论的升级版本，它考虑的（局部）代数整数环的理想在扩张之后的分解规律和伽罗华群的共轭类之间的联系，这种联系可以打包成阿廷映射，称之为所谓的阿廷互反律或者一般互反律。说的更确切一些，这个理论的核心想法就是试图利用整体-局部原则把局部的伽罗华扩张理论（相对简单）“粘结起来”可以得到整体的伽罗华扩张。这个理论的终极目标就是要回答这样一个问题：给定一个数域，是否可以仅仅利用它的代数整数环的算术性质或者代数性质（内蕴的算术几何性质）来确定它的所有伽罗华扩张？或者能不能确定它的最大伽罗华扩张或者伽罗华群？（确定伽罗华群可以通过确定它的所有表示来做到）如果可以，怎么样做到？对于这个问题的回答，朗兰兹给出一些启示，他认为这是可以的（断言朗兰兹互反律存在），并且启示说确定伽罗华群可以通过某些群的自守表示来做到。朗兰兹互反律体现了整体局部原则，要把代数整数环的信息打包到阿黛尔环（Adeles）中去，然后用调和分析的方法把阿黛尔环中的信息释放出来。这种打包信息和释放信息的方式现在看来还是非常神秘的，所以人们更多从几何表示论，motive理论，共形场论规范理论和量子场论等角度去理解为什么可以这样做，由此产生了几何版本的朗兰兹纲领，当然还有其他版本的朗兰兹纲领。这也是为什么朗兰兹为什么越做越大的原因之一。另外我必须强调朗兰兹的方案只是一种回答上述问题的方案，最近Kontsevich和Kreimer的理论中出现可能用其他方式确定伽罗群的理论，这个program和格罗腾迪克的另外一个program“孩子的涂鸦”（children'sdrawings,Anabeliangeometryordessinsd'enfants）密切相关。所有的这些program都和如何理解伽罗华群有关，都是伽罗华理论的推广。朗兰兹纲领的关于伽罗华表示部分和motive理论的关系的猜测（A《==》B）可以表述成所有的好的伽罗华表示都是来自几何的或者说是motivic。朗兰兹纲领的表示论的部分：来自代数/算术的伽罗华表示《===》来自几何的伽罗华表示为了说清楚这件事情，需要解释什么叫做来自几何的伽罗华表示或者说伽罗华群的几何意义是什么朗兰兹纲领涉及到的代数几何层次上的问题------伽罗华群的几何意义之一：映射类群---------------------------------------------------------------------------------------给定一个域K及其扩张L，我们自然定义伽罗华群Gal（L/K），我们可以考虑L上的所有代数簇或者代数方程