关于等式与不等式的基本证明全程版

1关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(xf在],[ba上连续，且()()fafb，对于(),()fafb之间的任一个数C，),(ba，使()fC．（,ab）介值定理推论1（零点定理）：若)(xf在],[ba上连续，且()()0fafb，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论2（零点定理）：若)(xf在(,)ab内连续，且()()0fafb，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论3（零点定理）：若)(xf在(,)内连续，且lim()lim()0xxfxfx，则),(ba，使()0f．（,ab）介值定理推论4：若)(xf在],[ba上连续，min()fxm，max()fxM，且Mm，对于,mM之间的任一个数C，则),(ba，使()fC．（可能取到a或b）（二）积分中值定理定积分中值定理：若)(xf在],[ba上连续，则(,)ab，使()()()bafxdxfba．定积分中值定理推论1：设)(),(xgxf在],[ba上连续，且()gx在],[ba上不变号，则(,)ab，使babadxxgfdxxgxf)()()()(．对于定积分中值定理及其推论1，可能取到a或b．（三）微分中值定理罗尔中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且()()fafb，则),(ba，使()0f．罗尔中值定理的推广形式1：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)(xf有2n个不同的零点，则'()fx在),(ba内至少存在1n个不同的零点．罗尔中值定理的推广形式2：若)(xf在),(ba内可导，且()()faAfb，则),(ba，使()0f．罗尔中值定理的推广形式3：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且'()0fx，则)(xf在),(ba内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，则),(ba，使()()()()fbfafba．（四）不等式定理凹凸不等式TH1：()()0,fx则()((1))()((1)),(0,1)fxfyfxy．特别有()()()()22fxfyxyf．凹凸性不等式定理2：当[,]xab，且()()0fafb，若()()0,fx则()()0fx．积分不等式定理：若()()fxgx，则()()bbaafxdxgxdx（ab），但反之不然．特别有若()0fx，则()0bafxdx（ab），但反之不然．积分估值定理：若()fx在[,]ab（ab）上连续，则minmax()()()()()bafxbafxdxfxba．积分绝对值不等式定理：()()bbaafxdxfxdx（ab）．2二、典型例题题型一恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法例1、求证：（1）()0()()()(),fxaTTafxfxTfxdxfxdx连续（2）()00()()()()fxnTTfxfxTfxdxnfxdx连续．提示：（1）令0()()(),aTTaFafxdxfxdxaR用求导法，这比用换元法方便（2）令00()()()nTTGnfxdxnfxdx，用求导法错误，因nZ,用换元法方便111(1)0000000()()()()()nnnxkTunTkTTTTkTkkkfxdxfxdxfkTudufxdxnfxdx．例2、设)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，若0)(badxxf，则在],[ba上，0)(xf．证明：用反证法，假设0)(),,(00xfbax，则),(),(00baxx)0(0)(xf，则baxxxxfdxxfdxxf),(,0)(2)()(0000积分中值定理.这与0)(badxxf矛盾，故原式得证．题型二方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(xf在],[ba或),(ba上连续，则()fx直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(xf在],[ba上连续，且0,,qpbdca，求证：方程)()()()(dqfcpfxfqp在),(da内至少有一根．提示：取)()()()()(dqfcpfxfqpxF在],[dc上用零点Th．例2、设)(xf在),(上连续，且lim()0xfxx，证：),(使0)(f．提示：设xxfxF)()(，则)(xF在),(上连续，lim()lim[1()]xxFxxfxx，01x，使0)(1xF同理，由,)(limxfx02x，使0)(2xF，故)(xF在],[21xx上满足零点定理．例3、)(xf在],[ba上连续，0],,[iitbax),,2,1(ni，且11niit，求证：],[ba使niiixftf1)()(．（此为1{()}nifx的加权平均值）提示：()mfxM，有niniiniiiiMMtxftmtm111)(．进一步，111()()()()bbbaaambamdxbafxdxbaMdxM则(,)ab，使1()()()bafbafxdx．（此为()fx在],[ba上的平均值）例4、设ka是满足1(1)(21)0nkkkak的实数，证：nkkxka10)12cos(在(0,2)内至少有一实根．（构造1()sin(21)(21)nkkFxakxk在[0,2]上用罗尔Th）3例5、设)(xfy为]1,0[上的任一连续函数，且1010)()(dxxxfdxxf求证：0)1)((xxf在)1,0(内至少有一根．提示：构造1)1)(()(xdtttfxF在]1,0[上用罗尔定理；或用积分中值定理．例6、设)(xfy为]0,1[上的任一连续函数，记)(xf在]0,1[上的平均值为A，求证：)0,1(，使Afdttfe])()([1．提示：令1'()[()()]xxFxeftdtfxA，构造1()()xxFxeftdtAx，用罗尔定理．（2）)(xf在],[ba或),(ba上可导，则数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(xf例1、设)(xf在[12,2]连续，在(12,2)上可导，且1122()(2)fxdxf，试证：)2,0(，使'()0f．（提示：112(2)2()(),(12,1)ffxdxf）例2、设)(),(xgxf在],[ba连续，在],[ba上可导，且对于),(bax有0)(xg试证：),(ba，使()()[()()][()()]fgffagbg．提示：令'()'()()()'()'()()()'()Fxfxgxfxgxfxgbfagx，构造函数()()()()()()()Fxfxgxfxgbfagx在],[ba上用罗尔Th．例3、设)(xf在],[ba上连续，在),(ba上可导求证：),(ba，使11[()()]()()nnnbanffAbafafb．提示：（1）令1'()()()nnFxnxfxxfx，构造)()(xfxxFn在],[ba上使用Lagrange（2）令1'()()()nnFxnxfxxfxA，构造()()nFxxfxAx在],[ba上使用罗尔．例4、设)(),(xgxf于10,连续，10,内可导，对),(bax恒有)()()()(xgxfxgxf，求证：若)(),(xgxf在),(ba内有两个零点，则介于其之间，)(xg至少有一个零点．提示：用反证法，假设0)()(21xfxf，且0)(xg，],[21xxx构造()()()Fxfxgx，则0)(F，与条件矛盾．例5、设)(xf在ba,上一阶可导，()0fa，'()0fa，()0fb，证明：（1）存在),(ba，使0)(f；（2）存在),(ba，使'()()ff．提示：（1）由保序性，1,xaa，使得10fx，由零点定理知（1）．（2）fx存在两个零点,a，则xFxefx在,ab上有两个零点，用Rolle定理．题型三非积分不等式主要方法（1）构造)(xf，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.（2）利用函数的凹凸性.（3）利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值.（4）利用中值法证明不等式.例1、设)1,0(x，求证：(i)22)1(ln)1(xxx；(ii)211)1ln(112ln1xx．提示：(i)令()ln(1)1fxxxx或22()(1)ln(1)gxxxx(ii)令11()ln(1)hxxx，则22()'()0(1)ln(1)gxhxxxx，有(1)()(0)hhxh．4例2、比较ee与的大小．提示：xe，比较xeex与的大小，取对数构造()lnfxxex，易证ee．例3、设)(),(xgxf二阶可导，当0x时，)()(xgxf，且)0()0(gf，)0()0(gf，求证：)()(0xgxfx时，．（提示：令)()()(xgxfxF，需两次求导）例4、当0,0yx时，求证：lnln()ln[()2]xxyyxyxy．提示：令()ln,()0[()()]2[()2]ftttftfxfyfxy．例5、当x0时,sin(2)xx提示：令()sin(2)fxxx,则当x0时,()sin(2)40fxx，故该函数的图形在),0(内是凸的，又0)()0(ff,因此0)(xf．例6、0,0,0yx，求证：11()()xyxy．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())yxyx，令()ln(1)tfxat，0a．若1a，原命题成立，现证明()ft在0,1ta时单调递减22ln(1)ln(1)()'()(1)(1)ttttttaaaagtfttata，'()ln[lnln(1)]tttgtaaaa1a时，'()0gt，则()(0)0gtg；01a时，'()0gt，则()lim()0tgtgt．例7、设1,10px，求证：12(1)1pppxx.提示：令()(1)ppfxxx，求其在]1,0[的最值．例8、若xy0及1p，求证：)()(11yxpxyxyxpypppp．提示：令()pftt，在],[yx上对)(tf应用拉氏定理．例9、在],0[a上，()fxM，且)(xf在),0(a内取最大值，求证：Maaff)()0(．提示：设,0)],([max)(0acxfcfax则0)(cf，在],[],,0[acc对)(xf分用拉氏定理．题型四积分不等式主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式（2）函数的单调性（构造辅助函数）积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件）常伴于其中例1、设4488(tan),(tan)IxxdxJ