勾股定理专题训练

第1页（共9页）初二下期勾股定理专题训练一．选择题（共5小题）1．（2015•黄石模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．14B．16C．18D．202．（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3．点P是边BC上一点，点Q是边AC上一点（不与点A、C重合），且BP=PQ，则BP的取值范围是（）A．≤BP＜B．≤BP≤C．≤BP＜D．≤BP＜33．（2015•杭州模拟）如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（）cmB．C．D．9cm4．（2014•乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A．B．C．D．5．（2014春•邗江区期末）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：①AE=CF②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP④S四边形AEPF=S△ABC当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第2页（共9页）二．填空题（共3小题）6．（2014春•兴业县期末）已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数时，这三条线段能围成一个直角三角形．7．（2015春•安顺校级月考）如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑分米．8．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．三．解答题（共2小题）9．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）10．（2011•广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．第3页（共9页）初二下期勾股定理专题训练一．选择题（共5小题）1．（2015•黄石模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．14B．16C．18D．20考点：勾股定理．菁优网版权所有分析：过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．解答：解：图中S4=SRt△ABC．S3=S△FPT，∴S1+S3=SRt△ABC．S2的左上方的顶点为F，过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，而图中Rt△DFK全等于①，所以S2=SRt△ABC．S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×3=4×3÷2×3=18．故选：C．点评：本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．2．（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3．点P是边BC上一点，点Q是边AC上一点（不与点A、C重合），且BP=PQ，则BP的取值范围是（）A．≤BP＜B．≤BP≤C．≤BP＜D．≤BP＜3考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有分析：以P为圆心，OQ的长为半径画圆，当圆与AC相切时，BP最小，与线段BC相交且交点为A或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．解答：解：如图，∵Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，第4页（共9页）∴∠C=30°，∴AB=BC，又∵AC=3，∴BC==，则BC=2．以P为圆心，BP的长为半径画圆①如图1，当圆P与AC相切时，PQ⊥AC时，PQ最短，即BP最短．∵∠ABC=60°，∴∠C=30°，∴PQ=BP=PC，∴BP=BC=；②如图2，当圆P与AC相交时，若交点为A或C，则BP=BC=，∵点Q不与点A、C重合，∴此时BP=PQ＜．综合①②可知，BP的取值范围是≤BP＜．故选：C．点评：本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及含30度的直角三角形．利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键．3．（2015•杭州模拟）如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（）cmB．C．D．9cm考点：平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．第5页（共9页）解答：解：AB就是蚂蚁爬的最短路线．但有三种情况：当：AD=3，DB=4+6=10．AB==．当AD=4，DB=6+3=9．AB=．当AD=6，DB=3+4=7AB=．所以第三种情况最短．故选C．点评：本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线．4．（2014•乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A．B．C．D．考点：勾股定理；三角形的面积．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．解答：解：如图，由勾股定理得AC==．∵BC×2=AC•BD，即×2×2=×BD∴BD=．故选：C．点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．5．（2014春•邗江区期末）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：①AE=CF②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP④S四边形AEPF=S△ABC当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：压轴题；探究型．第6页（共9页）分析：根据图形旋转的性质及全等三角形的判定定理得出△APE≌△CPF，△APF≌△BPE再根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，在△APE与△CPF中，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②④正确；∵AP=BC，EF是中位线，∴EF≠BC，∴EF≠AP，故③错误．故选C．点评：本题考查的是等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，根据题意得出△APE≌△CPF，△APF≌△BPE是解答此题的关键．二．填空题（共3小题）6．（2014春•兴业县期末）已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数17时，这三条线段能围成一个直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．菁优网版权所有专题：分类讨论．分析：由于直角三角形的斜边不能确定，故应分15为直角边和斜边两种情况进行讨论．解答：解：当15为直角边时，设斜边为x，则152+82=x2，解得x=17；当15为斜边时，设另一直角边为x，则152=82+x2，解得x=（不合题意）．故答案为：17．点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，在解答此题时要注意分类讨论．7．（2015春•安顺校级月考）如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑8分米．考点：勾股定理的应用．菁优网版权所有分析：梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于△ABC和△EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状．由题意可得出AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，将AB、CB的值代入该式求出AC的值，OC=AO﹣AC；在Rt△COD中，求出OD的值，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，即求出了梯脚移动的距离．解答：解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△ACB中，由勾股定理可得：第7页（共9页）AB2=AC2+BC2，AC==24分米．∴OC=AC﹣AC=24﹣4=2分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，故答案为：8．点评：本题主要考查勾股定理在实际中的应用，通过作相应的等价图形，可以使解答更加清晰明了．8．（2014•麒麟区校级模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要10cm．考点：平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′==10cm．故答案为：10．点评：考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．三．解答题（共2小题）9．（2014•黄石）小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）考点：勾股定理的应用．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．解答：解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，第8页（共9页）∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；（2）乘客车需时间（小时）；乘列车需时间（小时）；∴选择城际列车．点评：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形．10．（2011•广安）某园艺公司对一块直角三角形