2017-2018学年广东省惠州市高一(上)期末数学试卷

第1页（共14页）2017-2018学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）若集合A={1，2，3，4}，B={x|x﹣2＞0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{3，4}2．（5分）半径为1，圆心角为的扇形的面积为（）A．B．C．πD．3．（5分）若幂函数y=f（x）经过点，则此函数在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．偶函数D．奇函数4．（5分）已知，，则sin2α的值是（）A．B．C．D．5．（5分）若点在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．6．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在内的近似解的过程中，有f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则该方程的根所在的区间为（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定7．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）下列函数中，值域是[0，+∞）的函数是（）A．B．y=x2﹣x+1第2页（共14页）C．D．y=|log2（x+1）|9．（5分）已知f（x）=e|x|+2a﹣1有唯一的零点，则实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．210．（5分）设函数，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．函数f（x）在上单调递增C．函数f（x）在上单调递减D．函数f（x）在上单调递增11．（5分）若0＜a＜1，且函数f（x）=|logax|，则下列各式中成立的是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数的值域是（m，n），则f（m+n）=（）A．22018B．C．2D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于．14．（5分）若函数为偶函数，则a=．15．（5分）已知，则tanα=．16．（5分）已知函数，若存在实数x1，x2，x3，当0≤x1＜x2＜x3≤3时，f（x1）=f（x2）=f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是．第3页（共14页）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）化简求值：（1）；（2）．18．（12分）已知函数f（x）=3x2﹣5x+2，（1）求，f（a+3）的值；（2）解方程f（5x）=4．19．（12分）已知函数．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）若f（m）﹣f（﹣m）=2，求实数m的值．20．（12分）设函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x∈[，]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求不等式f（x）＞1的解集．21．（12分）函数的部分图象如图所示．（1）写出φ及图中x0的值；（2）设，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．22．（12分）已知函数f（x）=log2x，函数g（x）=3﹣2log2x．（1）若函数的最小值为﹣16，求实数λ第4页（共14页）的值；（2）当时，不等式的解集为∅，求实数T的取值范围．第5页（共14页）2017-2018学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）若集合A={1，2，3，4}，B={x|x﹣2＞0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{3，4}【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，∴A∩B={3，4}，故选：D．2．（5分）半径为1，圆心角为的扇形的面积为（）A．B．C．πD．【解答】解：由扇形面积公式得：S=×|α|×R2=××12=．故选：A．3．（5分）若幂函数y=f（x）经过点，则此函数在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．偶函数D．奇函数【解答】解：幂函数y=f（x）是经过点，设幂函数为y=xα，将点代入可得3α=，得到，此时函数是（0，+∞）的减函数．故选：B．第6页（共14页）4．（5分）已知，，则sin2α的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知，，又，故，所以，故选：A．5．（5分）若点在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为点在角α的终边上，即点在角α的终边上，则，故选：C．6．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在内的近似解的过程中，有f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则该方程的根所在的区间为（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解答】解：根据题意，由于f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则有f（1.25）•f（1.5）＜0，则该方程的根所在的区间为（1.25，1.5）；故选：B．7．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：第7页（共14页）8．（5分）下列函数中，值域是[0，+∞）的函数是（）A．B．y=x2﹣x+1C．D．y=|log2（x+1）|【解答】解：对于A：﹣|x|≤0，．A错误；对于B：，B错误；对于C：，值域为（﹣∞．﹣1）∪（﹣1，+∞）C错误；故选：D．9．（5分）已知f（x）=e|x|+2a﹣1有唯一的零点，则实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：函数y=e|x|是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，且当x=0时，y=e0+02=1，若f（x）有唯一的零点，则1﹣2a=1，a=0，故选：B．10．（5分）设函数，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）在上单调递减B．函数f（x）在上单调递增C．函数f（x）在上单调递减D．函数f（x）在上单调递增【解答】解：x∈[﹣，0]时，2x﹣∈[﹣，﹣]，∴函数f（x）=sin（2x﹣）先减后增，A错误；x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴函数f（x）=sin（2x﹣）先增后减，B错误；x∈[，]时，2x﹣∈[，]，第8页（共14页）∴函数f（x）=sin（2x﹣）单调递减，C正确；x∈[，π]时，2x﹣∈[，]，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）先减后增，D错误．故选：C．11．（5分）若0＜a＜1，且函数f（x）=|logax|，则下列各式中成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：因为0＜a＜1，所以，，，因为0＜a＜1，函数f（x）=logax，在（0，+∞）上是减函数，所以，故选：C．12．（5分）已知函数的值域是（m，n），则f（m+n）=（）A．22018B．C．2D．0【解答】解：因为是奇函数，所以的最大值与最小值互为相反数，从而得m+n=0，所以f（m+n）=f（0）=0．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于．【解答】解：sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=，第9页（共14页）故答案为：．14．（5分）若函数为偶函数，则a=﹣1．【解答】解：∵f（x）为偶函数，则对于定义域内{x|x≠0}，恒有f（﹣x）=f（x），利用特殊值法，不妨取f（﹣1）=f（1），则f（﹣1）=0，f（1）=2（1+a），所以a=﹣1．此时函数，满足f（﹣x）=f（x）为偶函数，故答案为：﹣115．（5分）已知，则tanα=．【解答】解：由，得，解之得．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数，若存在实数x1，x2，x3，当0≤x1＜x2＜x3≤3时，f（x1）=f（x2）=f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是[，）．【解答】解：分别画出y=|x﹣1|与y=（）x﹣1的图象，如图所示所以x1+x2=2，1﹣x1=x2﹣1=（），得x2=（）+1，得则（x1+x2）x2f（x3）=2（（）+1）•（），令t═（），x3∈（2，3]，得t∈[，），又y=2（t+1）t=2t2+2t，则y的取值范围为[，）．故答案为：[，）．第10页（共14页）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）化简求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式=；（2）原式===lg102=2．18．（12分）已知函数f（x）=3x2﹣5x+2，（1）求，f（a+3）的值；（2）解方程f（5x）=4．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=3x2﹣5x+2，则=6++2=8+，f（a+3）=3（a+3）2﹣5（a+3）+2=3a2+13a+14；（2）若f（5x）=4，则3（5x）2﹣5•5x﹣2=0即[3（5x）+1]•（5x﹣2）=0，∴5x=2，则x=log52．19．（12分）已知函数．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）若f（m）﹣f（﹣m）=2，求实数m的值．【解答】解：（1）是奇函数，第11页（共14页）证明：由＞0，解得﹣1＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，（2），由（1）可，函数f（x）为奇函数，则f（m）+f（﹣m）=0，①，又f（m）﹣f（﹣m）=2，②，由①②解得，f（m）=1，即ln=1=lne，∴=lne，解得m=20．（12分）设函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x∈[，]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求不等式f（x）＞1的解集．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a=sin2x++a=sin（2x+）++a；∴函数f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z；…（6分）（2）由x∈[﹣，]得：﹣≤2x+≤，∴f（x）=sin（2x+）的最大值是1++a=+a，…（8分）第12页（共14页）最小值是﹣++a=a，…（9分）∴+a+a=，解得a=0；∴不等式f（x）＞1化为sin（2x+）＞，∴2kπ+＜2x+＜2kπ+，k∈Z；kπ＜x＜kπ+，k∈Z；…（11分）又x∈[﹣，]，∴不等式f（x）＞1的解集{x|0＜x＜}．…（12分）21．（12分）函数的部分图象如图所示．（1）写出φ及图中x0的值；（2）设，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数从图象可知：当x=0时，可得f（0）的值为，即cosΦ=∵0＜Φ＜∴Φ=∴f（x）=cos（πx）将点（x0，）带入，得cos（πx0）=∴x0=2k或x0=第13页（共14页）∵T=，0＜x0＜2，∴x0=；（2）由=cos（πx）+cos[π（x）]=cos（πx）﹣sinπx=cosπxcos﹣sinπxsin﹣sinπx=cosπx﹣sinπx=cos（πx+）∵x∈上，∴πx+∈[，]当πx+=时，g（x）取得最小值为=．当πx+=时，g（x）取得最大值为1×=．22．（12分）已知函数f（x）=log2x，函数g（x）=3﹣2log2x．（1）若函数的最小值为﹣16，求实数λ的值；（2）当时，不等式的解集为∅，求实数T的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设t=log2x，又，则t≥﹣3，化简得y=4t2﹣（12+λ）t+9，t≥﹣3，其对称轴方程为，…（2分）当时，即λ≥﹣36时，有，解得λ=﹣32或λ=8，…（4分）当时，即λ＜﹣36时，有