化归思想在中学数学解题中的应用

第1页（共5页）化归思想在中学数学解题中的应用泉州培元中学许美玉摘要：化归思想是数学解题的一般方法。在数学领域有着广泛应用。在教学中经常进行化归思想教学，学生的解题能力和思维的灵活性就会逐步提高。关键词：化归应用解题能力回顾我们处理数学问题的过程和经验会发现，我们常常是将待解决的陌生问题通过转化、归结为一个比较熟悉的问题来解决。因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决，也常将一个复杂的问题转化归结为一个或几个简单的问题来解决，等等。它们的科学概括就是数学上解决问题的一般思想方法――化归。“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将等解决的问题A通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得原问题A的解答。用框图可直观表示为：待解决的问题A（化归途径）转化容易解决的问题B（化归对象）（化归目标）问题A的解答问题B的解答下面就化归思想在中学数学解题中的应用谈几点自己的体会：一、将未知的问题转化归结为已知的知识将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生联系，使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题。这种转化经常可达到事半功倍的效果。例如要求空间两条异面直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等。例1、求函数y=sinx+cosx+sinx•cosx的最值（分析）引入代换t=sinx+cosx，则sinx•cosx=)1(212t将问题转化为熟悉的二次函数最值问题，极易求解。解：设sinx+cosx=t,则sinx•cosx=212t∴y=212t+t=1)1(212t∵t∈[−2，2]∴−1≤y≤21＋2且当t=2即x=2kπ+4时，ymax=2+21(k为整数)当t=−1即x=2k或kπ时，ymin=−1(k为奇数)例2、已知圆O的半径为定值r，问这个圆的外切直角三角形是怎样的直角三角形时周长最短？最短还原第2页（共5页）的周长是多少？（分析）几何量的最值问题可以用三角法来解决，首先选取适当的变量角为自变量（注意自变量的取值范围）其次有关的几何量用变量角的三角函数式表达，根据等量关系，借助三角函数式列出所求的几何量的三角函数解析式，将几何量的最值问题转化为三角函数式的最值问题。解：如图，设⊙O的外切Rt△ABC切点分别为D、E、F，则BE＝BD＝r•ctg2B，AD＝AF＝r•ctg2A设△ABC的周长为y，则：y=2r•ctg2A+2r•ctg2B+2r=12222BSinASinBASinr∵452BA,∴rBACosry2)222(41222当12BACos，即A＝B时，rrry)223(222224min∴当三角形是等腰直角三角形时，周长最短，最短周长为r)223(2二、将复杂问题转化归结为简单问题复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法，一个难以直接解决的问题通过对问题深入观察和研究，转化成简单的问题迅速求解，如任意角的三角函数与锐角三角函数，各种公式的恒等变形，各种图形的初等变换，以及把正向思维转化为逆向思维等等，特别是把正向思维转化为逆向思维。如果我们经常引导这生注意分析问题，对问题进行逆向思考，不仅可以加深学生对可逆知识的理解，而且可以提高他们思维的灵活性。例3、求f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值分析：该题若运用公式展开相当繁锁，难以得出结果，若做以下转化，则非常巧妙。f(x)=3sin(x+20°)+sin[(x+20°)+60°]=)()20(13为辅角xSin这样f(x)的最大值即可得到。例4、若三个方程x2−2kx+k+6=0，x2+2kx−2k=0，2x2−(4k+1)x+2k2−1=0至少有一个方程有实数根，求k的取值范围。学生思维：习惯于正向思考的学生对三个方程的各种情况一一讨论，由于运算过程繁杂，极易造成错误。转化引导：把正向思考转化为逆向思考。“三个方程至少有一个方程有实数根”的反面是“三个方程全无实数根”，因而只要解△10,△20,△30，得到k的取值范围后，再求问题之逆即可。再如求321xxy的值域，不直接求它的值域而求它的反函数的定义域，又如一些采用反证法的证明题，这都是由正面转化到反面使复杂问题简单化，从而迎刃而解。ADBOECF第3页（共5页）三、数形之间的转化注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。例5：求函数f(x)=113632424xxxxx的最大值。分析：将函数式变形，得：222222)0()1()3()2()(xxxxxf上式可看作“在抛物线y=x2上的点P(x,x2)到点A(3,2)，B(0,1)的距离之差”如图：由||||||ABPBPA知，当P在AB的延长线上的P0处时，f(x)取到最大值|AB|所以fmax(x)=10)12()03(22另外，某些几何题，虽然图形较直观，但其已知条件和结论之间相距甚远，解题途径不易找到。特别是需要添加辅助线才能解决的那些题。还有那些条件较多，与结论关系又不明显，不能一下子抓住它们特点的题目。若采用代数法、三角法、解析法，则解题思路比较明确，不象几何证法需要特殊技巧，因此也就更容易找到解题途径，这种题目在高中平面解析几何的教学中是很常见的。例6、在直径为AB的半圆O上取一点C，且CE⊥AB于E，分半圆为两部分，另作⊙O’内切于右边部分，D为⊙O’与AB的切点，求证：AC=AD.分析：此题若用几何法证明较繁难，我们可通过建立适当的直角坐标系，转化成利用解析法来证明。证明：取O为坐标原点，以AB为x轴建立直角坐标系，设大圆O的半径为R，小圆的半径为r，则大圆方程为x2+y2=R2，点A的坐标为(−R,0)，且设C点坐标为(−a,22aR)（其中|OE|=a），则O’的坐标为(r−a,r)∵|OO’|=R−r，∴r2+(r−a)2=(R−r)2∴r=aRR222−R+a∴|AD|=|AE|+|ED|=R−a+aRR222−R+a=aRR222又∵|AC|=2222)()(aRaR=aRR222∴|AC|=|AD|四、实际问题向数学问题的转化归结将实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题。解答数学应用问题。要善于调整应用题中的条件关系和题型结构，使问题化难为易，化繁为简。若有些较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难，则可合理地设置间接未知数来设法进行转化，以寻求解决问题的新途径。例7：某织布工厂有工人200名，为改善经营，增设制衣项目，已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需布1.5米，将布直接出售每米可获利2元，将布制成衣出售，每件可获利25元，若每名工人只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣，问该厂一天所获总利润S（元）最多为多少？xAyPP0B0xDEACyO’B0第4页（共5页）分析：该厂一天所获总利润包括两部分，分别是一天制衣所获利润和剩余布所获利润。由此可得S＝25×4x+2[30(200−x)−1.5×4x]=28x+12000这样就将获利问题转化为x和S的一次函数关系。但要注意其中的x受到x200的限制，还应满足一个条件，即生产中的布必须不少于制衣所需布的数量，所以还有30(200−x)≥1.5×4x，得x≤32166,而制衣工人数量是整数，故制衣工人最多可安排166人。这样可获取最大总利润为28×166+12000=16648(元)例8：李伟从家里骑摩托车到火车站，若每小时行30千米，那么他比火车开车时间早到15分钟。若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟。现在李伟打算在火车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应该是多少？分析：若设直接未知数――即在火车站开车前10分钟到达火车站，李伟骑摩托车的速度应为x千米/时，列方程相当困难。但若设李伟从家出发到火车开车时间为y小时，则由距离相等可十分方便的列出方程30(y−6015)=18(y+6015)，所以y=1则x=6010)6015(30yy=27千米/时。当然本题也可设李伟从家到火车站的路程为z，先求z再求x.总之，从广义上说，数学问题的求解都是运用已知条件对问题进行一连串恰当转化归结，进而达到解题目的一个探索过程，熟练、恰当的转化可以迅速、准确地解决问题。灵活的转化可以出方法、出速度。而数学问题中运用化归思想解题的例子比比皆是，决不是几种类型可以加以概括的，平时教学中，经常地进行化归思想教学，针对不同的问题，缜密思考，及时总结各种“转化归结”方法，学生解题能力及灵活性就会逐步地得到提高。附：该论文曾发表于《福建中学数学》（2002年11月）刊号：CN35---1084/01