北京交通大学研究生课程矩阵分析期末考试2011-12-16

北京交通大学2011-2012学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六总分得分一、（共12分，每小题3分）试对下列概念给出定义：（1）线性映射的值域和核；（2）线性变换的特征值和特征向量；（3）矩阵的最小多项式；（4）矩阵的诱导范数.二、（共24分，每小题8分）设5R空间中的向量110212，201221，312012，413233，512013，623445，SpanV11234,,,，SpanV256,，（1）求矩阵123456,,,,,A的满秩分解；（2）求21VV的维数及基；（3）求21VV的维数及基.三、（10分）求矩阵200002244002A的正交三角分解URA，其中U是次酉矩阵，R是正线上三角矩阵.四、（10分）设13021iiAii24C，计算12,,,FAAAA.（这里12i）.2五、（共28分，每题7分）证明题：（1）设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，证明：AB的特征值的实部为0.（2）设A为正规矩阵，证明：)(2AA.这里)(A为A的谱半径.（3）设nnCB且1B，证明：BE可逆（其中E为单位矩阵）.（4）设nmCA，U是任意m阶酉矩阵，证明：FUAFA.六、（共16分，每小题4分）设411301621A，（1）求AE的Smith标准形（写出具体步骤）；（2）写出A的初等因子和A的Jordan标准形J；（3）求函数xxf2sin)(在矩阵A的影谱上的值；（4）求行列式tAcos.