北京市2014高考二轮总复习解析几何第3讲圆锥曲线的热点问题

第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题：有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．也可以设直线方程为：0xmyx，其中直线过x轴上的点)0,(0x3．弦的中点问题：有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题：(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一求轨迹方程例1(1)（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知(3,0)(0)Mmm,,NP两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足0MNNQ,12NPPQ.(Ⅰ)求动点Q的轨迹方程;(Ⅱ)若正方形ABCD的三个顶点,ABC,在点Q的轨迹上,求正方形ABCD面积的最小值.(2)（海淀区13届高三5月查缺补漏理）动圆过点(0,2)F且在x轴上截得的线段长为4,记动圆圆心轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)已知,PQ是曲线C上的两点,且2PQ,过,PQ两点分别作曲线C的切线,设两条切线交于点M,求△PQM面积的最大值.MNQPOyx(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2(1)（东城区2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分14分)已知椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为63,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知动直线(1)ykx与椭圆C相交于A、B两点.①若线段AB中点的横坐标为12,求斜率k的值;②若点7(,0)3M,求证:MAMB为定值.（2014届高三上学期期末海淀理）已知椭圆G:)0(12222babyax的离心率为12，过椭圆G右焦点F的直线:1mx与椭圆G交于点M（点M在第一象限）.（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于,BC两点.判断直线,MBMC是否关于直线m对称，并说明理由.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．考点三圆锥曲线中的最值范围问题例3（2011理19）已知椭圆22:14xGy.过点（m,0）作圆221xy的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.（2013届海淀二模数学理科）已知椭圆:M22221(0)xyabab的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形的四个顶点.(I)求椭圆M的方程;(II)直线l与椭圆M交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点1(0,)2,求AOB(O为原点)面积的最大值.求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为42.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足OA→＋OB→＝tOP→(O为坐标原点)，当|PA→－PB→|253时，求实数t的取值范围．解(1)由题意知椭圆的离心率e＝ca＝22，∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝12，即a2＝2b2.又△EGF2的周长为42，即4a＝42，∴a2＝2，b2＝1.∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由y＝kx－2x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)0，得k212.x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∵OA→＋OB→＝tOP→，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝x1＋x2t＝8k2t1＋2k2，y＝y1＋y2t＝1t[k(x1＋x2)－4k]＝－4kt1＋2k2.∵点P在椭圆C上，∴8k22[t1＋2k2]2＋2－4k2[t1＋2k2]2＝2，∴16k2＝t2(1＋2k2)．∵|PA→－PB→|253，∴1＋k2|x1－x2|253，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]209，∴(1＋k2)[64k41＋2k22－4·8k2－21＋2k2]209，∴(4k2－1)(14k2＋13)0，∴k214.∴14k212.∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝16k21＋2k2＝8－81＋2k2，又321＋2k22，∴83t2＝8－81＋2k24，∴－2t－263或263t2，∴实数t的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：70分钟)一、选择题1．已知方程x2k＋1＋y23－k＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是()A．k1或k3B．1k3C．k1D．k3答案B解析若椭圆焦点在x轴上，则k＋103－k0k＋13－k，解得1k3.选B.2．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x29－y216＝1(x3)D.x216－y29＝1(x4)答案C解析如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x3)．3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案C解析依题意得：F(0,2)，准线方程为y＝－2，又∵以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM|＝|y0＋2|，∴|FM|4，即|y0＋2|4，又y0≥0，∴y02.4．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8答案C解析设P(x0，y0)，则x204＋y203＝1，即y20＝3－3x204，又因为F(－1,0)，所以OP→·FP→＝x0·(x0＋1)＋y20＝14x20＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2,2]，即OP→·FP→∈[2,6]，所以(OP→·FP→)max＝6.5．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(13，＋∞)C．(15，＋∞)D．(19，＋∞)答案B解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1＝r1，PF2＝r2.由题意知r1＝10，r