农作物施肥效果分析

1农作物施肥效果分析摘要我们通过研究氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的作用，来建立施肥量与产量关系的模型。通过回归分析的方法，将所给的数据进行MATLAB工具箱拟合，并利用残差分析的方法，建立反映施肥量与产量关系的模型并检验分析,找到产量的最优解以及氮、磷、钾三种肥料的最优配合比，在耕地面积一定的情况下研究土豆或生菜可以达到得最大收益值。由此我们建立的土豆产量模型为𝑤1=−12.8361+0.1903𝑛+0.0842𝑝+0.0735𝑘−0.0003𝑛2−0.0002𝑝2−0.0001𝑘2生菜产量模型为𝑤2=−0.4938+0.0756𝑛+0.0234𝑝+0.0067𝑘−0.0002𝑛2求解得到土豆产量的最值，当=317.1667，=210.5000，=367.5000时，得出𝑤1=39.71，氮磷钾肥料的最优配合比为1.5:1:1.74，土豆是喜钾作物。我们可以得出生菜的最值，当=224，=685，=372时，得𝑤2=24.53，可以看出生菜是喜磷作物。在应用方面，为了直观的展示最大的利润以及最优配合比，设计了一个GUI人机交互界面，这样可以清晰明了表示获得的最大收益值。关键词：回归分析MATLAB拟合残差分析最优配合比GUI人机交互界面2一问题重述俗话说“民以食为天”，我们的生活与农作物的供应息息相关。近年来，随着人口增多，耕地减少，所以化肥对农作物的生长、提高农作物的产量具有重要的意义。农作物除了吸收水分和空气中二氧化碳以获得碳、氢、氧等元素外，还必须从土壤再吸收氮、磷、钾和其他矿质养分，并在太阳能的帮助下合成有机物质，以建造自己的有机机体，但土壤中的常量营养元素氮、磷、钾和其他矿质养分一般不能满足作物生长的需求，需要施用含氮、磷、钾的化肥来补充。在本问题中，某研究所通过研究氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的作用，来建立施肥量与产量关系的模型。实验中将每种肥料的施用量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量的关系时，把另两种肥料固定在第7个水平上，通过回归分析的方法，将所给的数据进行MATLAB拟合，从而建立反映施肥量与产量关系的模型,找到产量的最优解以及氮、磷、钾三种肥料的最优配合比，在耕地面积一定的情况下研究土豆和生菜可以达到的最大收益值，并从实际情况出发，评价该模型的优缺点。二问题假设及符号假设2.1假设在不同的实验条件下，保持水分、温度、湿度、光照、土壤状况等外界条件一致。2.2假设施加的化肥完全进入土壤，没有挥发作用。2.3假设在模型一、模型二中氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的影响是相互独立的。2.4符号假设：氮、磷、钾施用量分别为、、；土豆的产量为𝑤1，生菜的产量为𝑤2；氮肥每公斤价格为x，磷肥每公斤价格为y，钾肥每公斤价格为z；土豆每吨利润为a，生菜每吨利润为b；其他的固定成本为m；总收益为s。三模型的建立和求解3.1模型一的建立与求解为了大致分析土豆的产量𝑤1、生菜的产量𝑤2与、、的关系，首先利用表中的数据分别做出𝑤1与、𝑤1与、𝑤1与的散点图并进行拟合、建立模型，如下图所示。3图一𝑤1对的散点图从图一可以发现，随着的增加，𝑤1先增加在减小，由MATLAB拟合为二次函数。其数学模型为𝑤1=𝛽0+𝛽1𝑛+𝛽2𝑛2+𝜀；求参数可得𝑤1=−0.0003395𝑛2+0.1971𝑛+14.74；求解最值得，当𝑛=290.2798时，𝑤1=43.3471；与实际最值得对比发现，模型给出的最值小于实际给出的最值，这是因为，给出的模型是为了探究一般情况，故取该曲线的最值点，而实验给出的最值点不在该曲线上，因而舍弃了实验给出的最值点。图二𝑤1对的散点图同理给出𝑤1对的散点图，在拟合过程中我们发现指数函数拟合效果较二次4函数拟合效果好，所以给出指数函数数学模型𝑤1=45.99𝑒−0.0002318𝑝−13.78𝑒−0.008642𝑝求解函数最值得，当𝑝=286.9502时，𝑤1=41.8763，最值的误差来源同样是因为上述原因。图三𝑤1对的散点图给出𝑤1对的散点图，并得出数学模型𝑤1=−1.449×10−9𝑘4+2.257×10−6𝑘3−0.001191𝑘2+0.2603𝑘+18.68由图像可得最值，𝑘=651时，𝑤1=46.22。下面我们研究生菜的产量𝑤2与、、的关系，并做出𝑤2与、𝑤2与和𝑤2与的散点图并进行拟合、建立模型。图四𝑤2对的散点图5给出𝑤2对的散点图，并得出数学模型𝑤2=−0.0002381𝑛2+0.1013𝑛+10.23求解最值得，当𝑛=212.7257时，𝑤2=21.0046；最值的误差是因为拟合方程与实验数据不完全吻合。图五𝑤2对的散点图给出𝑤2对的散点图，并得出数学模型𝑤2=−5.453×10−5𝑝2+0.0606𝑝+6.876求解最值得，当𝑝=555.6574时，𝑤2=23.7124，最值误差来源仍是上述原因。图六𝑤2对的散点图6给出𝑤2对的散点图，并得出数学模型𝑤2=0.004657𝑘+16.27显然由图六所示，该模型为线性模型，故无最值的存在。3.2模型二的建立与求解模型一只是给出了产量与单一变量（氮、磷、钾的三种施用量）之间的关系，我们在此基础上进行改进，建立产量与多变量之间的数学模型。首先先建立土豆产量与三种肥料施用量关系的模型。综合上面的分析，土豆的产量与氮肥施用量的关系是二次函数模型；土豆的产量与磷肥施用量的关系是四次函数模型；土豆的产量与钾肥施用量的关系是指数函数模型，为建立三者统一的回归模型，必须简化计算，将土豆的产量与磷肥施用量的关系、土豆的产量与钾肥施用量的关系均转化为二次函数模型。结合土豆产量的模型一建立如下回归模型𝑤1=𝛽0+𝛽1𝑛+𝛽2𝑝+𝛽3𝑘+𝛽4𝑛2+𝛽5𝑝2+𝛽6𝑘2+𝜀其中𝛽0+𝛽1𝑛+𝛽2𝑝+𝛽3𝑘+𝛽4𝑛2+𝛽5𝑝2+𝛽6𝑘2是当给出氮肥施用量𝑛、磷肥施用量𝑝、钾肥施用量𝑘时，土豆产量𝑤1的平均值，其中参数𝛽0，𝛽1，𝛽2，𝛽3，𝛽4，𝛽5，𝛽6称为回归系数，𝜀应大致服从均值为0的正态分布。我们利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，使用格式为[b,bint,r,rint,stats]=regress(w1,X，0.05)其中输入𝑤1为上述回归模型中𝒘𝟏的数据（维向量，=30），𝐗为对应于回归系数的𝛃=（𝛽0，𝛽1，𝛽2，𝛽3，𝛽4，𝛽5，𝛽6）的数据矩阵[𝟏𝐧𝐩𝐤𝐧𝟐𝐩𝟐𝐤𝟐]（∗7矩阵，其中第一列为全1向量），0.05为置信水平；输出b为𝛃的估计值，bint为b的置信区间，r为残差向量，rint为r的置信区间，stats为回归模型的检验统计量，有4个值，第1个是回归方程的决定系数𝑅2（R是相关系数），第2个是F统计量的值，第3个是与F统计量对应的概率值p，第4个是剩余方差𝑠2。得到上述回归模型的回归系数估计值及其置信区间（置信水平0.05）、检验统计量𝑅2、𝐹、𝑝、𝑠2的结果见表参数参数估计值参数置信区间𝛽0-12.8361[−20.6921，−4.9802]𝛽10.1903[0.1597，0.2208]𝛽20.0842[0.0418，0.1265]7𝛽30.0735[0.0512，0.0958]𝛽4-0.0003[−0.0004，−0.0003]𝛽5-0.0002[−0.0003，−0.0000]𝛽6-0.0001[−0.0001，−0.0000]𝑅2=0.9190𝐹=43.4925𝑝=0𝑠2=6.1094表1由此可以得出该回归模型为𝑤1=−12.8361+0.1903𝑛+0.0842𝑝+0.0735𝑘−0.0003𝑛2−0.0002𝑝2−0.0001𝑘2同理，可得生菜与三种肥料施用量关系的模型二𝑤2=𝛽0+𝛽1𝑛+𝛽2𝑝+𝛽3𝑘+𝛽4𝑛2+𝛽5𝑝2+𝜀模型求解可得各参数的值参数参数估计值参数置信区间𝛽0-0.4938[−5.0236，4.0360]𝛽10.0756[0.0468，0.1045]𝛽20.0234[0.0176，0.0292]𝛽30.0067[0.0006，0.0128]𝛽4-0.0002[−0.0003，−0.0001]𝛽5-0.0000[−0.0000，−0.0000]𝑅2=0.7813𝐹=22.3293𝑝=0𝑠2=4.4389表2由此可以得出该回归模型为𝑤2=−0.4938+0.0756𝑛+0.0234𝑝+0.0067𝑘−0.0002𝑛2四模型的检验和分析在模型一的建立与求解过程中已对该模型进行了检验与分析，现在我们着重检验分析模型二。8图七土豆产量残差图首先我们分析土豆产量的残差图，从图七中发现在土豆产量的30个数据中，仅有2个数据（图中红线所示）的置信区间不包含零点，对于较多的点来说，残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能够良好的符合原始数据。图八生菜产量残差图我们从图八中发现在生菜产量的30个数据中，仅有3个数据（图中红线所示）的置信区间不包含零点，对于较多的点来说，残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能够良好的符合原始数据。现在我们对模型二的结果进行分析，由表1显示，𝑅2=0.9190指因变量𝑤1的91.90%可由模型确定且𝑝=0，因而土豆产量的模型从整体来看是可用的。由表2显示𝑅2=0.7813指因变量𝑤2的78.13%可由模型确定且𝑝=0，因而生菜产量的模型从整体来看也是可用的。9表1的回归系数给出了土豆产量模型中的𝛽0，𝛽1，𝛽2，𝛽3，𝛽4，𝛽5，𝛽6的估计值，观察他们的置信区间发现，均不含零点，所以说明各项均对模型来说是显著的。表1的回归系数给出了生菜产量模型中的𝛽0，𝛽1，𝛽2，𝛽3，𝛽4，𝛽5，𝛽6的估计值，观察他们的置信区间发现，除𝛽0外其他置信区间内均不含零点，所以说明0次项对模型不显著。用以下的MATLAB程序求出土豆产量的最值banana=@(x)12.8361-0.1903*x(1)-0.0842*x(2)-0.0735*x(3)+0.0003*(x(1)^2)+0.0002*(x(2)^2)+0.0001*(x(3)^2);[x,fval]=fminsearch(banana,[0,0,0])求解得到最值，当=317.1667，=210.5000，=367.5000时，得出𝑤1=39.71，由此结果我们可以得到氮磷钾肥料的最优配合比为1.5:1:1.74。我们可以发现，𝑤1的值略小于实验数据中给出的最大值，下面我们分析产生误差的几点原因。第一，给出的实验数据较少，不能很好的给出拟合模型。第二，在模型二中，只考虑了氮、磷、钾三种肥料独立影响的情况，而忽略了三者之间的交互影响。第三，在模型二中，缺乏正交试验数据，无法给出较准确地模型。综上所述，在模型二中𝑤1的值应当较实际值偏小，但是我们可以看出土豆对钾肥的喜好氮肥的喜好磷肥的喜好，土豆是喜钾作物。在生菜的模型二中，产量与磷肥钾肥成线性关系，因而无法求出最值，但我们可以看到产量与氮肥成二次关系，因而氮肥影响更加显著，所以随着氮肥的增加生菜产量先增加后减少，但磷肥钾肥却成线性关系，虽然符合题中所给出的实验数据，但不符合实际情况。因此我们只能由实际数据得到最值，当=224，=685，=372时，得𝑤2=24.53，可以看出生菜是喜磷作物。下面我们探究生菜产量的模型二与实际情况误差较大的原因第一，在给出磷肥钾肥的实验数据中，我们可以发现，产量基本是随着施用量的增加而增加，因而拟合图像只能是线性关系，对于这种情况，应该增添磷肥钾肥的实验数据来完善模型二。第二，在模型二中，只考虑了氮、磷、钾三种肥料独立影响的情况，而忽略10了三者之间的交互影响。我们通过上述分析发现，土豆与生菜的模型二中，均未对交互