北京师范大学初中数学复习资料(几何)与答案”(教材组组织编写)

图7－1第七章多边形[知识梳理]1．知识结构及要点归纳（1）怎样认识多边形的有关概念①一般地，有几条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形（我们现在研究的多边形仅限于凸多边形）②如果多边形的名边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形．③从n边形的一个顶点出发，一共可引3nn条对角线，这些对角线的每一条都重复一次，故n边形的对角线有132nn条．④多边形的内角和为2180n如图1，在n边形内任取一点O与各顶点连接，共得到n个三角形，这n个三角形的内角和为180n，再减去以点O为顶点的一个周角，就得到n边形的内角和为2180n．图7－2图7－3(2)(1)(3)(1)(2)图7－4如图2，过n边形某一个顶点引对角线，可将n边形分成2n个三角形，所以这些三角形的内角和为2180n，也就是多边形的内角和．⑤n边形的外角和为360°．n边形有n个顶点，每个顶点处内、外角之和为180°，共180n，减去2180n，得外角和为360°．（2）怎样理解平面图形的密铺？当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留下空隙，又不相互重叠的平面图形．①用相同的正多边形密铺．若有k个正多边形密铺，有360180)2(nnk，即224nk，由2n和2k都是正整数，得21,24;nk或22,22;nk或24,21;nk解得3,6;nk或4,4;nk或6,3;nk因此用一种正多边形能做成地面铺设的有正三角形、正方形和正六边形，如图所示②用多种边长相等的正多边形进行密铺．如用边长相等的正三角形与正方形进行密铺，设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正方形的角，则有3609060nm，化简得：2312mn，m、n只能取正整数解如图所示有两种拼法．解得：3,2.mn如图所示有两种拼法．可以仿照以上研究方法，去研究其它多边形进行密铺的规律．平行四边形是我们常见的一种四边形，它具有十分和谐的对称美，比如内角和等于360，外交和也等于360，还有很多特别有趣的性质．①平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．②平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；●平行四边形的对角相等；●平行四边形相邻的两个角互补；●平行四边形的对角线互相平分；●平行四边形市中心对称图形；●夹在两条平行线间的平行线段长度相等．③平行四边形的识别：●根据定义●两组对角分别相等的四边形是平行四边形●两组对边分别相等的四边形是平行四边形●一组对边平行且相等的四边形是平行四边形●对角线互相平分的四边形是平行四边形．在应用平行四边形的知识时，有时需要直接运用平行四边形的性质求角的度数，线段长度及判断它们相等关系或平行关系，有时需要先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质解决其它问题．(4)怎样认识和把握几种特殊平行四边形及它们之间的关系？矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质，当然也有一般平行四边形所不具备的特性．它们的关系如下：①矩形的性质及其识别．有一个角是直角的平行四边形叫矩形．矩形的特殊性质：●矩形的四个角都是直角；●矩形的对角线相等；●矩形是轴对称图形（当然也市中心对称图形）●推论——直角三角形斜边上的中线等于斜边一半．矩形的识别方法是：●用矩形定义●一个角是直角的平行四边形是矩形；●有三个角是直角的四边形是矩形；●对角线相等的平行四边形是矩形，●对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对于矩形，常用直角三角形的有关性质，如勾股定理解决有关线段或角的计算问题．菱形的性质及其识别．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的特殊性质有：●菱形的四条边都相等；●菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；●菱形是轴对称图形（当然也是中心对称图形）在菱形中有时也利用对角线构造出直角三角形，解决一些问题，如：设菱形边长为x，两条对角线分别为a、b则22222abx，12Sab菱形．③正方形的性质及其识别．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形除了具备平行四边形的性质外，还既具有矩形的性质、又具有菱形的性质，此外还具有下面的特性：●正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)图7－5●正方形的对角线相等，并且相互垂直平分；每条对角线平分一组对角；●正方形是轴对称图形，（当然边也是中心对称图形）矩形、菱形、正方形对角线交点分别是它们各自的对称中心．正方形的识别方法：●用正方形定义；●有一组邻边相等的矩形是正方形（先必须判断矩形）●有一个角是直角的菱形是正方形（必先判定是菱形）（5）梯形及等腰梯形有哪些性质？怎样识别梯形及等腰梯形？①关于梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，平行的两条边叫做梯形的底，不平行的两条边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高，另外，连接梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线．它平行于两底并且等于两底和的一半．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．②等腰梯形的性质及识别：性质有：●等腰梯形在同一底上的两个角相等；●等腰梯形的两条对角线相等；●等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．识别方法：●用等腰梯形的定义；●在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；●对角线相等的梯形是等腰梯形．（6）梯形常做的辅助线有哪些？在解决梯形问题时，常常要视已知条件来添加某些辅助线，将梯形转化为三角形或平行四边形（或矩形），从而使分散的条件相对集中．①当已知条件中含梯形两腰时可以延长两腰，把梯形问题转化为三角形问题来解决；或平移一腰或过上底两端点作高，把梯形转化为平行四边形和三角形来解，如图（1）和图（2）、图（3）．②当已知条件中含梯形对角线时，可平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形或三角形来解如图（4）．④当已知对角线中点时，可将顶点与这中点连接与另一底相交于一点，把梯形问题转化为三角形问题来解决，如图（5）．④当已知一腰上中点时，可把一顶点与中点连接并延长与另一底相交，或过这腰中点作梯形另一腰的平行线，把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题来解；或取梯形另一腰的中点，构成梯形中位线问题如图（6）、图（7）、图（8）．（7）怎样理解多边形的全等与相似特征？在几何学中，我们把具有相同形状的图形称为相似形，在相似形的概念中，重要的是形状相同，而大小则不一定相同．如果两个多边形相似，则它们的对应边成比例，对应角相等．（周长之比等于对应边的比，面积之比等于对应边比的平方）反之，如果两个多边形所有边对应成比例，且所有角对应相等，则我们就说这两个多边形相似．如果两个多边形的形状和大小都相同，我们就称之为全等．全等多边形的对应边相等，对应角相等，周长和面积也分别相等．反之，如果两个多边形所有边对应相等，对应角相等，我们就说这两个多边形全等．