北大随机信号分析基础课件3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽

3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽3.2.1白噪声通过线性系统设线性系统的传输函数为)(H，输入白噪声功率谱密度为2)(0NSX，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02NHSY上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(H决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。输出自相关函数为：deHNdeNHRjjY2002)(42)(21)(输出平均功率为：dHNRtYEY202)(4)0()]([3.2.2等效噪声带宽若在保持平均功率)0(YR不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。若等效的功率谱密度的高度为2)0(H，则这个带宽就定义为等效噪声带宽e。1．对于低通系统，用等效噪声带宽e表示的等效功率传输函数为：eeeHH0)0()(22等效后系统输出的平均功率为：2020)0(2)(221)0(HNdHNReeY已知dHNRY20)(4)0(可得dHHdHNHNee222020)0()(21)(4)0(2又2)(H是偶函数，有dHHe022)0()(2．若系统是以0为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在20)(H处。用等效噪声带宽e表示的等效功率传输函数为：其它022)()(00202eeeHH等效后系统输出的平均功率为：20020)(2)(221)0(HNdHNReeY已知等效前系统输出的平均功率为：dHNdHNRY02020)(2)(4)0(＝则有dHHHNdHNee0202200020)()()(2)(2等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。在一般的线性系统中，通常用3dB带宽来表示系统对输入确定信号频谱的选择性；而等效噪声带宽e则用来描述系统对输入白噪声功率谱的选择性。它们都仅由系统本身的参数决定。例：书104页例3.4.13.2.3随机信号频带宽度低通过程：如果随机过程的功率谱密度集中在零频附近，则称它为低通过程。带通过程：若随机过程的功率谱密度集中在某个频率)0(00ff附近，则称它为带通过程。窄带过程：当)0(00ff远大于随机过程功率谱所占有的带宽，则称它为窄带过程。随机过程的带宽用它的功率谱密度来定义。低通过程X(t)的矩形带宽B1定义为将X(t)的功率谱密度)(XS曲线下的面积等效成一个高为)0(XS，宽为B1的矩形，即)0()(1XXSdSB低通过程X(t)的均方带宽B2定义为归一化功率谱密度的标准差2122)()(dSdSBXX若X(t)带通过程，用)(0XS代替上式中的)0(XS，即可得到X(t)的矩形带宽)()(01XXSdSB带通过程X(t)的均方带宽为21202)()()(dSdSBXX3.2.4白噪声通过理想线性系统理想系统的等效噪声带宽与系统带宽是相等的。为了讨论方便，就用来代替e。1.白噪声通过理想低通系统理想低通线性系统具有如下的单边幅频特性其它020)(AH白噪声过程N(t)的单边功率谱密度为0)(NGN，则它通过理想低通系统后，系统输出随机过程Y(t)的单边功率谱为：20)()()(202ANHGGNY系统输出Y(t)的自相关函数为2)2sin(4)(02NARY输出平均功率为4)0(02NARY输出相关系数为2)2sin()0()()()0()()()()(2YYYYYYYYYRRRRRRCr输出相关时间为fddrY212)2sin()(000由上述结果可得，白噪声通过低通系统后1）功率谱宽度变窄2）平均功率由无限变为有限3）相关性由不相关变为相关，相关时间与系统带宽成反比2.白噪声通过理想带通系统理想带通系统的单边幅频特性为其它02)(0AH输出随机过程Y(t)的单边功率谱为2)()()(0202ANHGGNY系统输出Y(t)的自相关函数为0002cos)(cos2)2sin(2)(aNARY说明：(1)若0，即理想带通系统的中心频率远大于系统的带宽，则称这样的系统为窄带系统。此时，输出的随机信号也是窄带随机信号。(2)已知0002cos)(cos2)2sin(2)(aNARY，其中)(a只包含的成分。当满足0时，)(a与0cos相比，)(a是的慢变化函数，而0cos则是的快变化函数。(3)当00时，则有)()(aRY，此式与前面推导出的低通系统输出相关函数是一样的。输出随机过程的平均功率2)0(02NARY相关系数02cos2)2sin()0()()()0()()()()(YYYYYYYYYRRRRRRCr相关时间（带通系统的相关时间是由相关系数的慢变部分定义的）fd212)2sin(00从上述结果可看出，带通系统与低通系统的分析相似。3.白噪声通过实际线性系统以幅频特性接近高斯曲线的带通系统为例，来分析带通系统输出的功率和起伏变化。高斯频率特性的表示式为2202)()(AeH式中是与系统带宽有关的量。当输入随机信号N(t)是具有单边功率谱的白噪声时，输出随机信号的功率谱为220)(202)()()(eANHGGNY输出自相关函数0402cos2)(22eNARY输出随机过程的平均功率为2)0(02NARY相关系数04cos)(22erY等效噪声带宽dHHe0202)()(相关时间de04022此处所得相关时间与带宽成反比，该结果与理想带通系统相同。不同之处是输出自相关函数的包络是高斯曲线，功率谱也是高斯曲线。作业题：书123页3.4,3.5