北师大版初中相似图形单元测试

第四章图形的相似同步练习(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下面四组线段中,能成比例的是()A.3,6,7,9B.3,6,9,18C.2,5,6,8D.1,2,3,4【解析】选B.3∶6=9∶18.2.如图,有两个形状相同的星形图案,则x的值为()A.15cmB.12cmC.10cmD.8cm【解析】选D.根据对应边成比例得:=,解得x=8cm.3.如图,AB∥CD,=,则△AOB的周长与△DOC的周长比是()A.B.C.D.【解析】选D.由AB∥CD可得△AOB∽△DOC,又=,△AOB的周长与△DOC的周长比是.4.如图,AB∥CD∥EF,则图中相似三角形的对数为()A.4对B.3对C.2对D.1对【解析】选B.∵AB∥CD∥EF,∴△ACD∽△AEF,△ECD∽△EAB,△ADB∽△FDE.∴图中共有3对相似三角形.5.如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是()A.-aB.-(a+1)C.-(a-1)D.-(a+3)【解析】选D.过点B和点B′分别作x轴的垂线,垂足分别是点D和点E,∵点B′的横坐标是a,点C的坐标是(-1,0).∴EC=a+1,又∵△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍,∴DC=(a+1),∴DO=(a+3),∴B点的横坐标是-(a+3).6.如图,在△ABC中,BCAC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线交AD于E,点F是AB的中点,连接EF,则S△AEF∶S四边形BDEF为()A.3∶4B.1∶2C.2∶3D.1∶3【解析】选D.∵DC=AC,CE平分∠ACB,∴AE=DE(等腰三角形“三线合一”).∵点F是AB的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD,EF=BD,∴△AFE∽△ABD,则S△AEF∶S△ADB===,∴S△AEF∶S四边形BDEF=1∶3.7.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是()A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)【解析】选B.由题意得Rt△ABC的边AB=6,BC=3,AC=3,△CDE中CD=2,若CD的对应边为AB时C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标是(6,0)或(6,2)或(4,0)或(4,2),不可能为(6,3);若CD的对应边为BC时,C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标是(6,5)或(6,-3)或(4,5)或(4,-3);若CD的对应边为AC时C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似;也可直接从网格上按上面的对应边来判断四个选项,易得点E的坐标不可能是(6,3),故选B.二、填空题(每小题5分,共25分)8.如图,直线A1A∥BB1∥CC1,若AB=8,BC=4,A1B1=6,则线段B1C1的长是.【解析】∵A1A∥BB1∥CC1,∴=.∵AB=8,BC=4,A1B1=6,∴B1C1=3.答案:39.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外任选一点C,连接AC,BC分别取其三等分点M,N.量得MN=38m,则AB的长为m.【解析】∵M,N分别为AC,BC的三等分点,∴==,又∠C为公共角,∴△CMN∽△CAB,∴=,∴AB=3MN=114m.答案:11410.如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=.【解析】由于E,F分别是PB,PC的中点,根据中位线性质EF∥BC,EF=BC,易得△PEF∽△PBC,面积的比是1∶4,由S=2,得△PBC的面积为8.又根据平行四边形的性质,把S1+S2看作整体,求得S1+S2=△PBC的面积=8.答案:811.已知点D是线段AB的黄金分割点,且线段AD的长为2厘米,则最短线段BD的长是厘米.【解析】当线段BD最短时,由题意得=,解得BD=-1.答案:-112.如图,已知直线l:y=x,过点M(2,0)作x轴的垂线交直线l于点N,过点N作直线l的垂线交x轴于点M1;过点M1作x轴的垂线交直线l于N1,过点N1作直线l的垂线交x轴于M2,……按此作法继续下去,则点M10的坐标为.【解析】根据题意可知N的坐标为(2,2),所以OM=2,MN=2,因为△OMN和△NMM1相似,所以=,所以MM1=6.所以OM1=2+6=8,因此M1的坐标为(8,0).同理,可求得M2(32,0),M3(128,0),……,由此可得Mn的横坐标满足(22n+1,0),所以当n=10时,代入(22n+1,0)中,得M10的坐标为(221,0).答案:(221,0)三、解答题(共47分)13.(10分)如图,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2,6),B(4,2),C(6,2),D(6,4),在第一象限内,画出以原点为位似中心,与原四边形ABCD相似比为的位似图形A1B1C1D1,并写出各点坐标.【解析】如图所示:各点的坐标分别为:A1(1,3),B1(2,1),C1(3,1),D1(3,2).14.(12分)(2013·徐州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上的某一点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上).(1)若△CEF与△ABC相似,①当AC=BC=2时,AD的长为;②当AC=3,BC=4时,AD的长为.(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.【解析】(1)①;②1.8或2.5.(2)相似.连接CD,与EF交于点O,∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B.由折叠知,∠COF=∠DOF=90°,∴∠DCB+∠CFE=90°,∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A.又∵∠C=∠C,∴△CEF∽△CBA.15.(12分)(2014·宁波慈溪实验期中)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.(1)求证:△ABF∽△DFE.(2)若△BEF也与△ABF相似,请求出∠BEC的度数.【解析】(1)如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°.∵△BCE沿BE折叠为△BFE,∴∠BFE=∠C=90°,∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°.又∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2,∴△ABF∽△DFE.(2)∵由(1)知,∠1+∠3=90°,∴△BEF与△ABF相似,分两种情况:△ABF∽△FBE;△ABF∽△FEB.①当△ABF∽△FBE时,∠2=∠4.∵∠4=∠5,∠2+∠4+∠5=90°,∴∠2=∠4=∠5=30°,∴∠BEC=90°-30°=60°.②当△ABF∽△FEB时,∠2=∠6,∵∠4+∠6=90°,∴∠4+∠2=90°,这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾,∴△ABF∽△FEB不成立.综上所述,∠BEC的度数是60°.16.(13分)(2013·永州中考)如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD.(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由.(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长.(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长.(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问在m,n,l满足什么关系时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点?【解析】(1)存在P点满足题意.设BP=x,则DP=10-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-10x+36=0,方程无解;所以BP=.(2)存在两个P点满足题意.设BP=x,则DP=12-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-12x+36=0,解得x=6;所以BP=6或.(3)存在三个P点满足题意.设BP=x,则DP=15-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-15x+36=0,解得x=3或12.所以BP=,3或12.(4)设BP=x,则DP=x-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=xxl,解得x=mmnl.如果是△ABP∽△PDC,则=,即mxl=,得方程:x2-lx+mn=0,Δ=l2-4mn.当Δ=l2-4mn0时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的一个P点;当Δ=l2-4mn=0时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的两个P点;当Δ=l2-4mn0时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的三个P点.