北师大版高中数学(必修4)2.5《从力做的功到向量的数量积》教案

1从力做的功到向量的数量积（第一课时）●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。●教具准备多媒体辅助教学●教学过程2教学环节教学程序教学设想创设情境通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？创设问题情境，激发学生的学习欲望和要求。新课引入在物理学中，力F对物体做的功为||||cosWFs，功W可以看成是向量F、s的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。从而引出两个向量的夹角的概念。通过对力做功的分析引出两个向量的夹角，过渡比较自然。探究问题师生互动1、给出两个向量的夹角的概念，并让学生通过观察发现两个向量的起点时，有向线段所夹的角才为两个向量的夹角。并让学生讨论两个向量的夹角的范围0180，要求学生解释为什么在这个范围。进一步提问学生，如果夹角0、90及180时，两向量的位置关系如何？2、练习：在ABC中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：（1）ABAC与（2）ABC与B（3）ACC与B的夹角。3、（1）射影的概念cosb叫作向量b在a方向上的射影。并提问：射影是向量还是数量？给出如下六个图形，让学生指出b在a方向上的射影，并判断其正负。通过提问，让学生在思考问题的过程中，不要忽略对特殊的情况的讨论。培养学生严谨的学习态度。及时巩固所学知识，使学生能正确理解两个向量所成的角的概念。因为射影是新概念，所以直接给出射影的概念，然后通过提问及练习，帮助学生理解射影是一个数量而不是向量，其正负由这两个向量的夹角来确定abB1BAOabB1BAOaB1()BAOOABAOB3探究问题师生互动4、两向量数量积的定义：cosababab与是非零向量,，0a规定:0。提醒学生注意：ab不能写成ab或ab的形式。提问学生：两个向量的和与差是向量还是数量？向量的数量积呢？若是数量，其正负如何确定？当为锐角时，cosabab0当为钝角时，cosabab0当90时，cosabab=0当0时，abab当180时，abab（2）两个向量数量积的几何意义：b与a的数量积等于a的长度a与b在a的方向上的投影cosb的乘积或b的长度b与a在b的方向上的投影cosa（3）向量数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积•Fs5、向量数量积的性质练习二，请完成下列练习，并通过观察，看看自己能否发现向量数量积的性质。（1）已知8a，e为单位向量，当它们的夹角为时3，求a在e方向上的投影及aeea、性质为：（2）已知2a，3b，a与b的交角为90，则ab另外，通过对特殊的情况的讨论，养学生严谨的学习态度。直接给出向理数量积的定义，通过提问，比较向量和与差的运算，理解向量的数量积是数量而不是向量，其和由向量的夹角确定。学习了投影的概念及及与力对物体做功的比较，向量数量积的几何意义与物理意义就比较容易理解了。鼓励学生大胆猜想，表达自己的观点和见解，培养学生的探索精神和严谨的科学态4探究问题师生互动性质为：（3）若1a，3b，a、b共线，则ab性质为：（4）已知3m，4n，且6mn，则m与n的夹角为性质为：因此，平面向量数量积的5个性质为：(1),cos是单位向量eaeeaa*(2)900abab(3)//ababab*22aaaaa特别地:或*4cosabab(5)abab//b(当且仅当a时等号成立)6、演练反馈：判断下列各题是否正确。(1)0,,0aa若则对任一向量b有b(2)0,0,0aabb则(3)0,,aacacbb则(4)//ababab度以及实际动手能力。性质总结归纳，让学生特别注意打*的性质，因为在后面的学习中，这几个性质用的较多。这几道题是对数量积公式的进一步正确理解。反思归纳7、教师引导学生从知识、思想方法和研究问题的方法等方面对本节课所学知识进行总结：①平面向量的数量积及其性质；依据元认知理论，这部分先由学生叙述，教师进行补充整理，5②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运算，注意它们的区别；③主要题型有：直接求数量积、求向量的模、求两个向量的夹角、判断两向量是否垂直及三角形的形状等。④体会分类讨论、数形结合的思想。一方面让学生再次回顾本节课的学习过程，另一方面更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训。布置作业一、课后作业：1、课本P108习题2-5，1（1）3、4、52、已知2sin15,a4cos15b，p和q的夹角是30，则ab=二、课后讨论平面向量数量积，是两个向量之间的一种乘法运算，它与两个实数之间的乘法运算是否一样满足交换律、分配律、结合律呢？能否给出你的结论的证明？课本习题中的第1（1）题直接利用向量数量积公式，第3题利用数量积的性质（3），第4题利用性质（4）求夹角，第5题考查夹角的概念及数量积公式，补充题是将数量积与三角函数中的二倍角公式结合考查学生，可以查漏补缺，帮助学生复习二倍角公式。课后讨论题是为了下节课学习运算律做准备。教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学6生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。（2）教学方法——启发引导式本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。（3）教学手段——多媒体辅助教学为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。