几何画板下的圆锥曲线的三合一的作图

几何画板下的圆锥曲线的三合一的作图作者：admin文章来源：本站原创点击数：366更新时间：2008-2-2几何画板下的圆锥曲线的三合一的作图作者：李莹文章来源：本站原创点击数：289更新时间：2006-11-27文章属性：★★★用几何画板做圆锥曲线的三合一一、椭圆1.作圆O，使O在直线l上，半径为任意长；2.作出圆O与直线l的的交点A，B（A在左），作线段OB，在线段OB上任取一点，G，作线段CG的中垂线m；3.作直线OG，OG交m于M，设定G为圆O上的动点，并在圆O上运动，则点M的轨迹即为椭圆。如图（1）其中：OM+MC=OG（OG为定值，且为圆O的半径）O、C为焦点，OC为焦距2c，OG为长轴2a二、双曲线1.同椭圆1；2.在点A的左边取点E，连EG，作线段EG的中垂线n交直线l于点N；3.追踪点N，则点N随G在圆O上运动而运动，N的轨迹即为双曲线其中：E、O为焦点，OG为长轴，NG-NO=OG为定植。如图（2）三、抛物线1.同双曲线1；2.在E的左边取点F，作l的垂线GP，交l于P，作线段PF，3.以点O为圆心，PF长为半径，作圆O，交GP于Q、R两点，4.分别追踪点Q、R，则Q、R的轨迹为G在圆O上运动而运动产生的轨迹，即抛物线。如图（3）其中：过F且与l垂直的直线为抛物线的准线。几何画板构造圆锥曲线2008-10-0115:43分类：默认分类字号：大中小{CopyrightbyLhfcwsCopiedfrom}可以说算是拓展的新定义。如直接用所给的按钮画圆锥曲线，难以对其有较深的理解，因此尝试自己通过定义构造。原始定义（必须了解）：1、椭圆：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹2、双曲线：平面内与两个定点（焦点）的距离之差绝对值等于常数的点的轨迹3、抛物线：平面内与一定点（焦点）和一定直线（准线）的距离相等的点的轨迹1、椭圆的画法。根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。O1P+O2P=k（k为常数）。如上图，作一个圆O1，取圆内一定点O2，取圆上一动点M。连结O1M，O2M。作O2M中垂线L，交O1M于点P。追踪交点P。当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为一个椭圆。直线L刚好与椭圆相切。证明：其实很简单。作圆的目的就是为了能够找到一个定值k，而此时，k=r。连结O2P，根据中垂线定理，O2P=MP，又因为O1P+MP=r，所以O1P+O2P=r=k回到了椭圆定义上去了。2、双曲线和椭圆一样。根据定义，我们需要确定的两个点O1,O2以及一个动点P。O1P-O2P=k（k为常数）。如上图，作一个圆O1，取圆外一定点O2，取圆上一动点M。连结O1M，O2M。作O2M中垂线L，交O1M于点P。追踪交点P。当M在圆上移动一周时，点P运动轨迹为双曲线。直线L刚好与曲线相切。证明：其实也很简单。根据中垂线定理，O2P=MP，MP=O1P+r。所以O2P=O1P+r，即O2P-O1P=r=k。回到双曲线定义，证毕。可以看到，画双曲线和画椭圆基本上差不多，原理几乎一样。3、抛物线由于定义中，没有定值，只有等量关系，因此我们很难用到圆，但是中垂线仍是可以运用的，其等量关系可以通过中垂线实现。为方便阐述，故将图像放至直角坐标系里。原点为O。y轴上取一点M，在X正半轴上找到F使FO=MO。过M作y轴垂线L。连结MF，作MP中垂线Z。L交Z于点P。在y轴上移动点M，P的运动轨迹为抛物线。证明：就是保证PL垂直于准线y轴，利用中垂线定理保证PL=PF，从而是定义成立。用《几何画板》作圆锥曲线统一定义的代数作法用《几何画板》作圆锥曲线统一定义的代数作法昆明**：阳光圆锥曲线在直角坐标系中，不同的圆锥曲线对应着不同的方程。但在极坐标中，有统一的方程，我们能作出它的统一的图像吗？其方程为（极坐标中的方程式：））在《几何画板》中，我取得了成功。思路如下：首先是构建出极坐标系，给定动态的e、θ和p，根据其方程：，在《几何画板》中用代数的方法作出图形。作图步骤如下：1、打开《几何画板》。在“显示”菜单中选择“参数设置”将选项“自动选择标签”下的“P点”勾选；将“A角度单位”下的“选择成弧度”勾选“确定”返回主界面。2、在“图表”菜单中选择“网格形式”下的“极坐标(r，theta)”；然后在“图表”菜单中“建立坐标轴”。3、用“文本编辑”工具双击标签A，将A改成O，将点B隐藏。4、用“画线”工具“画出线段CD”，在CD上取点E，同时选中C、D两点。选择“作图”菜单下的“线段”。5、用“选择”工具同时选中C、E点。在“度量”中选择“距离”；同理“度量E、D距离”。6、用“选择”工具双击CE调出“计算器”点击“CE”、“/（除号）”、“ED”、“确定”退出。7、用“文本编辑”工具双击“CE/ED”弹出“度量值格式”，勾选“文本格式”；将标签CE/ED改成e.（同时将CE、ED度量值（“显示”菜单下的）“隐藏”）。8、用“画线”画出“线段FG”，在“度量”菜单下选择“长度”，类似步骤7，将标签FG改为p。9、用“画线”工具“画出线段HI”，同时选中点O，点击“作图”菜单中的“以圆心和半径画圆”（同时将HI隐藏）；用“选择”工具选中圆O在“作图”菜单下选择“对象上的点J”，得到J点。10、用“选择”工具选择右边的圆和极坐标轴的交点（单击得到点）K（注意左下角的提示：选择交点。），顺次选择“点K”，“点O”，“点J”，在“度量”菜单下选择“角度”得到“∠KOJ的弧度”。同理将∠KOJ改成θ。11、以下的工作就是计算了。双击“e”调出“计算器”对话框。用“选择”工具顺次点击“e”，“*”，“p”，“/”，“(”，“1”，“－”，“e”，“＊”，“函数”栏中的“cos[”，“θ”，]“)”，“]”“确定”退出“计算器”，将产生的“”标签改为标签ρ。12、用“选择”工具顺次(只)选中ρ，θ。在“图表”菜单中“按(r，theta)绘制”，得到点M，（如果看不到，用“选择”工具移动K点，直到看到M点）。同时选择K，M点，在“作图”菜单中选择“轨迹”（如果效果不好，用“对象信息”工具双击“轨迹（曲线）”，弹出“轨迹M信息”，将“轨迹上的点”改成适当的数如：100，最大为999）。13、隐藏圆O，点K，点及线段HI。14、用“选择”工具拖动“点E”，观察轨迹的变化。用“选择”工具拖动“G点”，观察轨迹的变化。我们可以明显的看到：(1)拖到E点，改变e的大小。E在不同范围内变化时分别得到椭圆，双曲线，抛物线。当0＜e＜1，改变e的大小，得到不形状的椭圆。e越小，椭圆越接近于圆。e越大，椭圆越扁。当e＞1时，改变e的大小，得到不形状的双曲线。e越大，双曲线开口越阔。当e＝1时，得到抛物线。(2)拖到G点，可以改变p的大小，可得到离心率相同的不同形状的同类曲线。当然，我们可以追踪M点，拖到K点，看看点M在不同的大小e下，轨迹是什么样子。最后给出M点的轨迹。用《几何画板》构造椭圆（五）——用《几何画板》演示圆锥曲线的统一定义解忠良椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆；e＞1时是双曲线；e＝1时是抛物线。而且这三种圆锥曲线有统一的极坐标方程。下面，我们就用《几何画板》演示圆锥曲线在极坐标系中的统一定义。1．建立坐标轴。2．根据坐标（－5，－5）、（5，－5）画点，得到点C、D。3．构造线段CD，并在CD上构造点E。4．测算CE、DE的距离。5．计算的值，并用e（离心律）表示的值。6．画点（－3，0），得到点发F。7．过点F作x轴的垂线（准线）。8．测算AF的距离，并用p表示。9．在y轴上构造点G。10．以A为圆心，AG为半径作圆。11．在圆上构造点H。12．修改坐标形式为极坐标。13．设置参数，把角度单位修改为弧度。14．测算点H的坐标。15．求出点H的极角，并用θ表示。16．计算的值，并用ρ表示。17．修改格栅格式为极坐标。18．先后选中ρ，θ的值，并以其为极坐标画点，得到点I。19．同时选中点H、点I，构造轨迹。20．在线段CD上拖动点E，改变离心律e的值，可观察到点I的轨迹在椭圆、抛物线和双曲线之间变化（如图1～3所示）本文中的课件均用《几何画板4．0》制作完成，其源程序可在http//kl12server．126．com下载。图10E1时的图形图2e=0时的图形图3e1时的图形用信息技术研究圆锥曲线的多种画法日照市莒县二中张玉锋人教社B版教材体现着课标理念，更加贴近学生实际。为让教材与信息技术结合，编委们精心制作了大量的课件，方便了教师上课，激发了学生学习的兴趣，在课件的演示中，变的简单、直观、易懂，提高了教学效率。必修4正弦函数的图象部分，由范登晨、伊红旗、张万祥三位老师共同用几何画板制作的课件，就非常形象、生动、直观。课件的界面上，有许多可以改动的参数，学生更加明确改动参数后的图象。课件还设置了变换、还原按钮，容易操作。图象变换的课件，设置了三个按钮A变、变、变，学生能形象直观地看出图象的演变过程，从而很容易地解决了教学中的难点“先周期变换与先相位变换的区别。”受此启发，学生也学会了制作课件。圆锥曲线可以说是中学数学教学中的经典内容，此部分具有内容多，联系性强等特点，学生一般不容易搞清楚，不过这也是考察学生思维能力，开发学生创造力的极佳内容。著名数学教育家波利亚曾说：“在数学里，能力指的是什么？这就是解决问题的才智——我们所说的问题，不仅仅是寻常的，他们还要求人们具有某种程度的独立见解，判断力，能动性和创造精神。”以下是我们师生在课上利用几何画板画椭圆进行的一些探索。利用几何画板来画椭圆，一般可以利用代数法或利用课本上的“同心圆法”来构造。这儿就不细述了。有的同学在掌握了简单的方法后又根据椭圆的定义用几何法来构造椭圆。构造圆，圆心F；构造一自由点。构造一自由点A；构造直线AF，线段A。构造线段A的垂直平分线L，并与直线AF交于O点由A点和O点构造轨迹。构造动画使A点沿圆运动。分析：由线段垂直平分线的性质和对定圆其半径为定值可知OF+O=R=const。所以O为椭圆上一点。深入：通过点A的动态运动，观察椭圆与直线L的位置关系，可以推测线L是椭圆上过点O的切线。验证：据椭圆面镜光学特性(焦点发出的光线经椭圆面镜反射会聚另一焦点)。可以过o点作直线L的垂线N（即法线），双击线N:做F点的像点;连接O。结论：可以发现线O经过点。一方面说明线L为椭圆O点的切线；另一方面说明椭圆的特殊光学特性，这二者是相互证明的。同时我们可以得出这样一个结论：以定长（椭圆上的点到两焦点距离和）为半径，以焦点F为圆心做圆，另一焦点与圆上任意一点连线的垂直平分线即为椭圆的一条切线。这样的结论在书本上是找不到的，又是学生们亲自参与得出的。再探索：当点拖到圆外时，此时构造的轨迹是双曲线。通过分析可知，此时恰又满足双曲线的定义（到两定点距离差为常数的点的轨迹）；同样线L仍可证明为双曲线的点O的切线；同样可以证明双曲线的椭圆的特殊光学特性（一焦点发出的光经双曲线面镜反射，反射光线延长线会聚另一焦点）。简单的将点移动到圆外情况就大不相同。然而双曲线的结论又和椭圆有着惊人的相似。在兴奋的欣赏这“和谐美”之余，除了对几何画板“动态几何”的特殊形式表示惊叹外，不能不对自己的想法表示惊讶。“人人是创造之人，实施是创造之时，处处是创造之地。”另外有些同学还可根据圆锥曲线的统一定义（到定点与定直线距离之比为常数e的点的轨迹）来构造椭圆。也不失为一种好方法。制作一调数棒。（e为两线段的比例数，通过调节动点用来控制e的大小）做定点O，定直线L；过点O作线L的垂线；构造上的动点D；过点D作线L的平行线测算两平行线间的距离d；标识距离d*e，按标识距离d*e平移定点O到；以定点O为圆心O为半径作圆C1。使线交动圆C1为A和两点；轨迹跟踪点A和。作动画使点沿线运动，此时轨迹跟踪给出椭圆图形。亦