函数图像原稿

函数的图象命题人张飞飞要点梳理：1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换y=f(x)如何进行上下，左右平移？(2)对称变换①y＝f(x)――→关于x轴对称y＝_____________②y＝f(x)――→关于y轴对称y＝_______________③y＝f(x)――→关于原点对称y＝______________(3)翻折变换①y＝f(x)――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝_________②y＝f(x)――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝_________2.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是______________．答案(－2,0)∪(2,5]3．把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是______________．答案y＝(x－1)2＋3解析把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得到y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.4.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f1f3的值为________．答案2解析由图象知f(3)＝1，∴1f3＝1，∴f1f3＝f(1)＝2.5．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是______________．答案[]1－22，3解析由y＝3－4x－x2，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．∴曲线y＝3－4x－x2是半圆，如图中实线所示．当直线y＝x＋b与圆相切时，|2－3＋b|2＝2.∴b＝1±22.由图可知b＝1－22.∴b的取值范围是[]1－22，3.题型一作函数图象例1分别画出下列函数的图象：(3)y＝x2－2|x|－1;(4)y＝x＋2x－1.思维启迪：根据一些常见函数的图象，通过平移、对称等变换可以作出函数图象．解(3)y＝x2－2x－1x≥0x2＋2x－1x0.图象如图③.(4)因y＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x＋2x－1的图象，如图④.探究提高(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．作出下列函数的图象：(1)y＝|x－2|(x＋1)；解(1)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝x－122－94；当x2，即x－20时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.∴y＝x－122－94，x≥2，－x－122＋94，x2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．题型二识图、辨图例2题型三函数图象的应用例3已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．思维启迪：利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解f(x)＝x－22－1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞－x－22＋1，x∈1，3作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0m1，∴M＝{m|0m1}．探究提高(1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题．(2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．(2)1a54(2)y＝x2－x＋a，x≥0，x2＋x＋a，x0，作出图象，如图所示．此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－14，要使y＝1与其有四个交点，只需a－141a，∴1a54.高考中的函数图象及应用问题高考中和函数图象有关的题目主要有三种形式：一、已知函数解析式确定函数图象二、函数图象的变换问题典例：(5分)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为________．(填序号)考点分析本题考查图象的变换问题，函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图象变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言．求解策略要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知③图象正确．答案③解后反思对图象的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．三、图象应用典例：(10分)讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．考点分析本题考查绝对值的意义，考查分类讨论思想和数形结合思想．求解策略可以利用函数图象确定方程实数根的个数．规范解答解设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k0时，方程没有实数根；当k＝0或k－1或k≥1时，方程只有一个实数根；当0k1时，方程有两个不相等的实数根．解后反思利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想；解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图.方法与技巧1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．失误与防范1．作图要准确、要抓住关键点．2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合的数学思想方法的运用．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)合．3．(2011·陕西改编)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是________．(填序号)答案②解析由于f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以图象①、③错误；由于f(x＋2)＝f(x)，所以T＝2是函数y＝f(x)的一个周期，④图象错误．故可能是②.5．已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．答案④②①③解析按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．7．(2011·北京)已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．二、解答题(共27分)8．(13分)已知函数f(x)＝x1＋x.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．解(1)f(x)＝x1＋x＝1－1x＋1，函数f(x)的图象是由反比例函数y＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f(x)有两个单调递增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．9．(14分)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；解(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－1x＋2，∴y＝f(x)＝x＋1x(x≠0)．一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知函数y＝1x，将其图象向左平移a(a0)个单位，再向下平移b(b0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________．答案1解析图象平移后的函数解析式为y＝1x＋a－b，由题意知1a－b＝0，∴ab＝1.6．设b0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为________．答案－1解析先根据条件对图象进行判断是解题的关键．因为b0，所以对称轴不与y轴重合，排除图象①②；对第三个图象，开口向下，则a0，对称轴x＝－b2a0，符合条件；图象④显然不符合．根据图象可知，函数过原点，故f(0)＝0，即a2－1＝0，又a0，故a＝－1.二、解答题(共28分)7．(14分)已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时f(x)的表达式．(1)证明设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)解当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]，－2x－1，x∈[－2，0].