函数的值域所有知识点

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念1、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合{|(),}yyfxxA称为这个函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作max0yfx最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作min0yfx注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。二、基本函数的值域一次函数）（0abkxy的定义域为R，值域为R；二次函数）（02acbxaxy的定义域为R，；当]424(0);424[0abac，，a，abac，a反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为}0/{yy；指数函数)10(aaayx且的值域为}0/{yy；对数函数)10(logaaxya且的值域为R；正、余弦:函数的值域1,1；正、余切函数2kx,tanxy,cotxy),(Zkkx的值域为R。三、求函数值域和最值常用的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域三大类：（1）单项式，多项式的值域：利用（1）利用基本函数（2）X200x；0(0)xx（2）指数、对数，开根号函数的值域:采用换元法（3）分式函数的值域方法：(1)分离变量(常数)法;(2)反函数法(中间变量有界法);(3)数形结合(解析几何法：求斜率);(4)判别式法（定义域无限制为R）;类别一（1）观察法(用非负数的性质，如：20x；0x；0(0)xx等)例如：求下列函数的值域：y=-3x2+2;{y|y≥2}变式：y=5+21x(x≥-1)的值域是{y|y≥5}（2）利用基本函数求值域法：例如：下列函数中值域是1．12yx211()5xy3.21yx41(0)yxxx解析：通过基本函数的值域可知：A的值域为[0,+）,C的值域为[0,1],D的值域为[2,+).答案：B（3）配方法：多项式里边的二次函数必用配方，(二次或四次)转化为二次函数，（即转化为含有自变量的平方式与常数的和）型如：),(,)(2nmxcbxaxxf然后根据变量的取值范围确定函数的最值；思考：如何配方呢？例如：求值域：y=21xx，xR；x3,1；(1,5]x；[5,1]x解析：通过配方可得213()24yx；开口向上，所以当12x时，函数取最小值34y；当x3,1时，在12x时，函数的最小值为34y；最大值在x=3时取到，f（3）=13；故其值域为[34,13];同学练习：(1,5]x；[5,1]x变式1：－43x2＋3x－6的值域变式2：y＝－x2＋4x－1x∈[-1,3)；（答：【-6，3】）变式3：求函数y=34252xx的值域.（答：（0,5]）类别二（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例1：求函数xxy142的值域.4,解析：令1tx（t0），则21xt，故222(1)4,y2t4t2ytt经整理得；（不要忘了t的定义域）用配方法求的y的值域为4,。例二：求62log)(22xxxf的值域解答：复合形式用换元：令622xxt，则由例1可知，,5t根据单调性，可求出t2log的值域为,5log2例三：求624)(1xxxf的值域解答：因为224xx，所以，采用换元法，令xt2，则,0t则原函数变为622tt，可以根据二次函数值域的求法得到值域为,6变式1：求函数y=3x-x21的值域.（{y|y≤23}）变式2：211yxx的值域为{(3,)）（令1xt，0t。}；变式3：249yxx的值域为____（答：[1,324]）；变式4：函数21xxy的值域为____（答：【2，1】）变式6：求函数)42(5loglog241241xxxy的值域（答：[254,8]）(提示：令t=14logx，1t[1,]2)。类别三（5）分离常数法：（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．形如),(,nmxdcxbaxy（特点，分式的分子，分母最高次数一样，且都是一次）此类也可以用反解法解例如：求下列函数的值域：y=({y|y1})变式：52x-1x（6）反解法，形如y=dcxbx22a(特点，分式的分子分母最高次数一样，且都是二次)函数y=2211xx的值域是（）A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）解：由y=2211xx，得x2=yy11.∵x2≥0，∴yy11≥0，解得－1＜y≤1.练习：求函数122xxy的值域（答：1y0）求函数522324yxx的值域（7）利用判别式法形如fexdxcbxx2ay（ad0为任意常数)都可以用判别式法，将原式转化为x的整式方程，当二次项含有分母时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有二次项不为零时才能用判别式。当原函数的定义域不为R时慎用判别式例求函数y=432xx的最值．[-43,43]变式：22221xxyxx；[1,5]（8）基本不等式法：（暂时不讲）转化成型如：)0(kxkxy，利用基本不等式公式来求值域；设12,,,xaay成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是（答：(,0][4,)）。练习：求函数41422xxy的最小值（答：y2.5）（9）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；求1(19)yxxx的值域为______（答：80(0,)9）；练习：函数f(x)=xxx1log823的值域【2,3】函数412)21(xxy的值域【0,2】（10）数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围（答：33[,]33、[5,5]）；练习：求函数y=22(1)(2)x+22(1)(3)x的值域.（答：29y）提示：此题可以看做（x，0）到（-1，-2）和（1，-3）两点的距离和（11）导数法：求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（答：－48）●典例剖析题型一：函数值域问题例1．求下列函数的值域：（1）265yxx；（2）312xyx；（3）41yxx；（4）21yxx；（暂时不讲）（5）|1||4|yxx；（6）22221xxyxx；（7）2211()212xxyxx；（8）1sin2cosxyx。（暂时不讲）解：（1）求复合函数的值域：设265xx（0），则原函数可化为y。又∵2265(3)44xxx，∴04，故[0,2]，∴265yxx的值域为[0,2]。分离变量法：313(2)773222xxyxxx，∵702x，∴7332x，∴函数312xyx的值域为{|3}yRy。（3）换元法（代数换元法）：设10tx，则21xt，∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt，∴5y，∴原函数值域为(,5]。注：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2yaxbcxd（4）三角换元法：∵21011xx，∴设cos,[0,]x，则cossin2sin()4y∵[0,]，∴5[,]444，∴2sin()[,1]42，∴2sin()[1,2]4，∴原函数的值域为[1,2]。（5）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)xxyxxxxx，∴5y，∴函数值域为[5,)。（6）判别式法：∵210xx恒成立，∴函数的定义域为R。由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy①①当20y即2y时，①即300x，∴0xR②当20y即2y时，∵xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，∴△22(1)4(2)0yy，∴15y且2y，∴原函数的值域为[1,5]。（7）2121(21)111121212121222xxxxyxxxxxx，∵12x，∴102x，∴1111222()21122()22xxxx，当且仅当112122xx时，即122x时等号成立。∴122y，∴原函数的值域为1[2,)2。（8）方程法：原函数可化为：sincos12xyxy，∴21sin()12yxy（其中221cos,sin11yyy），∴212sin()[1,1]1yxy，∴2|12|1yy，∴2340yy，∴403y，∴原函数的值域为4[0,]3。例2（分段函数法及图像法）求函数y=|x+1|+|x-2|的值域解：将函数化为分段函数形式：)2(12)21(3)1(12xxxxxy，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y3}例2：已知函数f(x)=xaxx22,x∈［1,+∞)，(1)当a=21时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解：(1)当a=21时，f(x)=x+x21+2∵f(x)在区间［1，+∞)上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞)上的最小值为f(1)=272-13xOy(2)解法一在区间［1，+∞)上，f(x)=xaxx220恒成立x2+2x+a0恒成立设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞)，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a－3