函数的极限表限

函数的极限表限――极限与函数的关系摘要：继高中数学中，在解决基本凼数求导问题时，简单涉及了极限思想在求导过程中的应用后，在进一步探究在极限条件下研究函数具体问题和其在具体经济生活当中的作用时出现了一系列问题，而极极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.限与函数的基本关系。本章在极限与函数的关系背景下从一下三个方面探究。第一节：数列的极限应用第二节：极限与函数图形凹凸性的关系。第三节：常见经济问题中的极限应用关键词：函数、极限、经济问题第一节数列的极限应用一数列的极限（一）数列极限的定义1.数列的定义设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式|an-A|都成立，那么就称常数A是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作读作当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，为半径的开区间（A-,A+），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N应该注意两点：其一，N是随着而存在的，一般来讲，N随着的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数即可.2．性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；（4）保号性，即若极限A0，则存在正整数N1，nN1时an0；（5）保序性，即若，且AB，则存在正整数N1，使得nN1时anbn，反之亦成立.定理1（收敛数列与其奇、偶项数列间的关系）数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.函数极限1．定义（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为1对：任意以两直线为边界的带形区域；2总：总存在（以点x0位中心的）半径；3当时：当点x位于以点x0位中心的空心邻域内时；4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给0，总存在着正数，使得对于适合不等式|x|的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|，则称常数A为函数f(x)当x时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质（1）极限唯一性；（2）局部有界性若存在，则存在10，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；（3）局部保号性若，则存在10，使得时，f(x)0，当x趋于无穷大时，亦成立；（4）局部保序性若，，且AB，则存在10，使得时f(x)g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.定理2函数f(x)当xx0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当xx0时的左、右极限都存在些相等，即利用定义证明极限下面介绍用-（或N）证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：（1）给定任意小正数；（2）解不等式或，找或N；（3）取定或N；（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+与自变量为例）：（1）给定任意大正数G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则1．夹逼准则（1）数列极限的夹逼准则如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：1存在N，nN时，bnancn；2则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则（以xx0和x为例）如果1（或|x|M）时，有2（或），则（或）（3）一个重要不等式时，2．单调有界数列必有极限3．柯西（Cauchy）极限存在准则数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m，nN时，有|xn-xm|.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。计算极限的常用方法1.利用洛必达法则三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限3.利用泰勒公式4.利用迫敛性5.利用定积分求和式极限6.利用数列的递推关系计算极限7.利用级数的收敛性计算极限8.利用积分中值定理计算极限第二节极限与函数图形凹凸性的关系一.函数的凹凸性与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）f为I上的增函数；（3）对I上的任意两点12,xx总有21121()()()()fxfxfxxx证（i）(ii)并取使据定理3.12,有6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中值定理由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方所以是上的递增函数．6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第,,,(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得6.5微分中值定理在当时,也有相同结论．6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章(iii)(i),并记,则有6.5微分中值定理在研究,6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方由(iii)可得6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方注定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分如果f在I上二阶可导,则进一步有：6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数()0fx（()0fx）,xI.f为严格凸1）()0fx；2）()fx不在I上的任一子区间上恒为零.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应此定理说明：f为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0fx）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f凸,则f凹）.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸可导函数f有如下相互等价的论断：6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》1）f为I上凹函数.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中值学要2）123,,xxxI,123xxx有32212132()()()()fxfxfxfxxxxx.即割线斜率递减.63）()fx为I上递减函数.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章4）0xI,有000()()()()fxfxfxxx,xI.当f在I上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数5）在I上()0fx.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中值定对严格凹的情形可类似得出等价论断.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数二、拐点6.5微分中值定理在定义2设曲线y＝f(x)在点(00,()xfx)处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册必须指出；若(00,()xfx)是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点0x的导数不一定存在,如3yx在x＝0的情形.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用定理3（拐点必要条件）若f在0x二阶可导,则(00,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点的必要条件是0()0fx.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章综上知：(00,()xfx)的拐点,则要么（1）0()0fx；要么（2）f在0x点不可导.6.定理4设f在点0x可导,在某邻域0()Ux内二阶可导,若在0()Ux和0()Ux上()fx的符号相反,则(00,()xfx)为曲线y＝f(x)的拐点.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的例1讨论函数()arctanfxx的凸性与拐点.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应解222()(1)xfxx,因而当0x时,()0fx；当0x时,()0fx,从而函数f为(,0]上的凸函数,在[0,)上为凹函数.而()fx在原点连续,故原点为曲线()yfx的拐点6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中例2若f在(,)ab内可导、凸（凹）函数,则0(,)xab为f的极小（大）值点0()0fx.即0x为f的稳定点.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上证）费马定理.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微）因f凸,故(,)xab有000()()()()fxfxfxxx.因0()0fx,故(,)xab总有0()()fxfx.即0x为f的极小值点.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面例3设f在开区间I上为凸（凹）函数,证明f在开区间I内任一点0x都存在左、右导数.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应证只证凸函数f在0x存在右导数,其它情形同理可证.6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分令120hh,记101xxh,202xxh,则012xxx（取2||h充分小使02xhI）,6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用1§6由(3)式得：6.5微分中值定理在研究01002012()()()()fxhfxfxhfxhh函数的凹凸性方面的应用《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用1§6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目标:掌握讨论函数的凹凸性和方法.教学要求00()()()fxhfxFhh:弄清函数凸性的概念,掌握函数凸