十)数学分析1考试试题

（十）《数学分析1》考试试题一、叙述题1叙述闭区间套定理；2用肯定的形式叙述函数)(xf在数集D上无上阶；3叙述Rolle微分中值定理；二、计算题1求极限xxxx)11(lim；2求摆线tyttxcos1sin20t，在t处的二阶导数22dxyd的值；3设xexf)(2，求不定积分dxxxf)(；4求不定积分dxeexx1arctan2；三、讨论题1讨论函数)(xf0,00,1sinxxxx在0x点处的左、右导数；2设221)(xnnxxfn，Aex.，)0(Ae21）、、（n，讨论)(xfn在Ae.上的单调性的最大值点；四、证明题1用定义证明21121limxxx；2证明：方程033cxx，（其中c为常数）在1,0上可能有两个不同的实根；3若数列nx收敛于a（有限数），它的任何子列knx也收敛于a。（十一）一年级《数学分析》考试题一（满分10分，每小题2分）判断题：1设数列}{na递增且（有限）.则有}sup{naa.()2设函数)(xf在点0x的某邻域)(0xU内有定义.若对)(0xUxn,当0xxn时,数列)}({nxf都收敛于同一极限.则函数)(xf在点0x连续.()3设函数)(xfy在点0x的某邻域内有定义.若存在实数A,使0x时,),()()(00xxAxfxxf则)(0xf存在且Axf)(0.()4若),(0)(,0)()(2121xfxfxfxf则有).()(21xfxf()5设cxGdxxgcxFdxxf)()(,)()(.则当)()(xGxF时,有)()(xgxf.()二（满分15分，每小题3分）填空题:1nnnknaknalim.911612.2函数|3|ln3)(xxxf的全部间断点是.3.)1ln()(2xxf,已知56)2()(lim000hhxfxfh,0x.4.函数193)(23xxxxf的既递减又下凸的区间是.5.dxxfxcxdxxf)(,sin)(2.二（满分36分，每小题6分）计算题:11111lim30xxx.2求函数54)15(4)(xxxf的极值.312xxdx.4dxxx)1ln(2.5dxxxx5232.6在边长为a的正三角形的三个角上剪去长为x的四边形(如右上图),然后折起来做成底为正三角形的盒子.求最大体积.三（满分7分）验证题:用“”定义验证函数254)(2xxxf在点20x连续.四（满分32分，每小题8分）证明题:1设函数f在区间]2,0[a上连续,且)2()0(aff.试证明:],0[ac,使)()(acfcf.2设函数)(xf在区间I上可导,且导函数)(xf在该区间上有界.试证明函数)(xf在区间I上一致连续.3设函数)(xf在区间],0[a上二阶可导,且0)(af.)()(2xfxxF.试证明:),0(a,使0)(F.4试证明:对Rnxxx,,,21,有不等式nxxxnxxxnn2222121.（十二）一年级《数学分析》考试题一判断题（正确的记（√），错误的记（×））（共18分，每题3分）：1.设)(xf在],[ba上连续，M与m分别是)(xf的最大值和最小值，则对于任何数)(Mcmc，均存在],[ba，使得cf)(。（）2.设)(),(tgxf在),(ba内可导，且)()(xgxf，则)(')('xgxf。（）3.设}{nx的极限存在，}{ny的极限不存在，则}{nnyx的极限未必不存在。（）4.如0xx是函数)(xf的一个极点，则0)('0xf。（）二证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。（10分）三证明：nR中任意有界的点列中必有收敛的子点列。（10分）四计算下列极限：（9分）1xxyyx)sin(lim)0,0(),(；242)(lim22)0,0(),(yxyxyx；322)0,1(),()log(limyxexxyx；五计算下列偏导数：（10分）（1）)(222zyxxeu；（2）)log(21nxxxz；六（10分）计算下列函数f的JacobianJf：（1）)sin(),,(2yzyxzyxf；（2）2/12222121)(),,,(nnxxxxxxf；七（10分）设隐函数)(xy由方程定义，求'y及''y。八（11分）在椭球内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？九、（10分）求椭球面过其上的点),,(000zyxp处的切平面的方程。十、（10分）设函数),(),,(yxgyxf是定义在平面开区域G内的两个函数，在G内均有连续的一阶偏导数，且在G内任意点处，均有又设有界闭GD，试证：在D中满足方程组的点至多有有限个。（十三）一年级《数学分析》考试题一判断题（正确的记（√），错误的记（×））（共18分，每题3分）：1设)(xf在],[ba上连续，M与m分别是)(xf的最大值和最小值，则对于任何数)(Mcmc，均存在],[ba，使得cf)(。（）5.设)(),(tgxf在),(ba内可导，且)()(xgxf，则xyxyarctan21222222czbyax1222222czbyax0xgyfygxf0),(0),(yxgyxf)0(x)(')('xgxf。（）6.设}{nx的极限存在，}{ny的极限不存在，则}{nnyx的极限未必不存在。（）7.如0xx是函数)(xf的一个极点，则0)('0xf。（）8.存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。（）9.对于函数xxxcos，由于)sin1(lim')'cos(limxxxxxx不存在，根据洛必达法制，当x趋于无穷大时，xxxcos的极限不存在。（）二计算下列极限：（18分）1)1sin(limnnn2)sin1(limnnn；3)1...2111(limnnnnn；4xoxxsinlim；5)ln)(ln(limxaxxx；64202coslimxexxx。三计算下列函数的导数：（20分）（1）xxexfxarcsin)log()(3；（2）)12(ln)(xxfx；（3）22,0lnsin2dxydyxxy求；（4）;cos,sin22ttyttx（5）设)(xf二次可导，求'))'(arctan(xf。四计算不定积分（12分）：（1）dxxx20)2)(1(；（2）dxxxxcos1sin；（3）dxxex2sin；（4）dxedxx2)1(。五（8分）求函数xexfsin)(在0x处的5次Taylor多项式：六（8分）用Lagrange中值定理证明：如果函数)(xf在),([a可微，并且0)('limxfx，则0)(limxxfx。七（8分）证明：若函数)(xf在),[a上连续，且Axfx)(lim（有限数），则)(xf在),[a上一致连续。八（8分）求母线为l的圆锥之最大体积。