分形几何及其在地球物理中的应用初探

分形几何及其在地球物理中的应用初探摘要：本文简要介绍分形的基本概念，发展历史，简述它在地球物理学中的应用，并探讨未来可能它在地球物理中可能的应用。限于篇幅，文中将略去理论的细节及数学推导，也不涉及分形在其它领域的应用。关键字：分形，分形几何，分维，地球物理，应用一、分形几何发展的历史回顾分形的发展大致可分为三个阶段。第一阶段为1875年至1925年。在此阶段，人们己认识到几类典型的分形集，并力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分析和刻划。第二阶段大致为1926年到1975年。在这半个世纪，人们实际上对分形集的性质作了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的结果。第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展,并形成独立学科的阶段。下面对这三个阶段作简要回顾。19世纪，尽管人们已能区别连续与可微的差别，但普遍认为连续但不可微的情形是极为例外的，并且在理论与研究中应排除这类“怪物”，特别认为一条连续曲线上不可微的点应是极少的。在1872年,Weierestras证明了连续函数：（1）（0a1，b为奇整数，ab1+2π）在任一点x均不具有有限或无限导数。(Hardy于1916年证明只要ab≥1，上述结果仍成立)Weierestras这一结果在他所处的时代引起了极大的震动；但尽管人们在观念上产生了改变，但仍认为Weierestras型的函数是极为“病态”的例子。即使如此，人们仍从不同方面推广了上述函数，并对这类函数的奇异性质作了深入的研究，获得了丰富的结果。VanKoch于1904年通过初等方法构造了现今称为VanKoch曲线的处处不可微的连续曲线(见图1)，并讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。特别重要的是，该曲线是第一个人为构造成的具有局部与整体相似的结构的例子，即现在称为自相似的结构。Peano于1890年构造出填充平面的曲线(见图2),这一曲线出现后，人们提出应正确考虑以前的长度与面积的概念。Peano曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。与此同时，全不连通的集合从各个方面被提出。为讨论三角级数的唯一性问题,Canter于1872年引入一类现今称为Canter三分集的全不连通的紧集。在当时，人们认为这类集合在传统的研究中是可以忽略的。但Canter的研究结果表明，这类集合在像三角级数的唯一性这样重要问题的研究中不仅不能忽略，而且起着非常重要的作用。一类极为典型的随机分形集，即布朗运动，在那时已受到物理学家的重视。Perrin在1913年对布朗运动的轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年左右，使年轻的Wiener受到震动，并促使他建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，Wiener采用了“混沌”(chaos)一词。Perrin曾经注意到：一方面，自然界的几何是混乱的，不能用通常形式的欧几里得几何或微积分中那种完美的序表现出来；另一方面，它能使人们想到在190年左右创立的数学的复杂性。Mandelbrot在回顾Perin及Wiener的工作以及分形几何的发展历史时指出，分形几何以下面两种选择为其特征：一是在自然界的混沌中选择问题，因为描述整个混沌是既无意义又无可能的主张；另一个是在数学中选择工具。这两种选择逐渐成熟并创造出了新的东西，在无控混沌与欧几里得过分的有序之间,产生了一个具有分形序的新领域。前面已经谈到，非常“复杂”的集合已被引入，而且长度、面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合，同时为了更一般的理论,Minkowskill于1901年引入了集合的Minkowskill容度。进,Hansdoff于1919年引入了Hausdoff测度和Hausdoff维数。实际上，这些概念指出，为测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采用的尺度。从上面可以看到，在第一阶段，人们己提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题提供了最基本的工具。在第二阶段，更为系统、深入地发展，深化了第一阶段的思想，并逐渐形成理论，而且将研究范围扩大到数学的许多分支中，在此我们仅简述几条重要的线索及有关的代表人物的工作。首先,Besicovitch及其他学派的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数，分形集的局部性质，分形集的结构,Kakeya集,s-集的分析与几何性质，以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。他们的研究结果极大地丰富了分形几何理论。在此期间，维数理论得到了进一步发展并日臻成熟。Bonligand于1928年引入了Bonligand维数，Poutrjagin与Schnirelman于1932年引入覆盖维数,Kolmogorov与Tikomirov于1995年引入嫡维数，另外，刻划集合“大小”的容量及容量维数亦引入了。总之维数可以从不同的角度来刻划集合的复杂性，起了重要的作用。在这阶段，Lovy在下面两个方面的工作极为重要二其一，他第一个系统地研究了自相似集，我们现今研究的许多自相似集的性质可追溯到他的工作。其二，他建立了分式布朗运动的理论，实际上，他是随机分形理论系统研究的最重要的先驱者之一。此时，以Salem与Kahane为代表的法国学派从稀薄集的研究出发，对各种类型的Cantor集及稀薄集作了系统的研究，建立了相应的理论方法与技巧，并在调和分析理论中得到了重要的应用。同时，维数的乘积理论，投影理论，势论方法，网测度技巧，随机技巧均先后建立并成熟，己使分形几何的研究具有自身的特色与方法。尽管在此阶段分形的研究取得了许多重要的结果，并使这一学科在理论上初见雏形，但绝大部分从事这一领域工作的人主要局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发展联系。但另一方面，物理、地学、宇宙学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，并迫切需要新的思想与有力的工具来处理它们二正是在这种形势下,MandelbrotB.B.以他独特的思想与超人的毅力，自60年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的结构，1967年，Mandelbrot在《科学》杂志发表“英国的海岸线有多长?”的论文，标志着分形概念的产生。1977年Mandelbrot发表“分形：形式、机遇与分维”，1982年又发表“自然界的分形几何”，分形理论的思想进一步成熟起来。下面简要介绍分形几何的特征、分维数等基本概念。二、分形简述1.分形的概念及特征许多自然现象无法用传统的欧几里德几何来描述，如曲折的海岸线、千姿百态的地貌、河流中的湍流等。虽然这些现象变幻无常且缺乏规则，但却具有自我相似性。分形几何以这些复杂性问题为对象，发展了一类专门的理论与方法。所谓分形(Fractal)原指“不规则的、分数的、支离破碎的”,其核心是自我相似性。描述分形的特征量是分形维数，简称分维。按照分形理论，分形体内任何一个相对独立的部分(分形元或生成元)，在一定程度上都是整体的再现和缩影。这种现象，无论在客观的自然界和社会领域，还是在主观的思维领域，都是普遍存在的。一个分形集应具备以下几个典型性质：(l)通常它本身的结构在大小尺度上有着某种“自相似”形式(有的严格地相似，也有的只是近似的、或者统计的相似性)；(2)当图形比例不断缩小时，它可以有任意小的细节；(3)它的“分形维数”大于它的“拓扑维数”；(4)在大多数令人感兴趣的情形下，它可以用非常简单的方法定义，并可以用迭代计算产生其图形；(5)分形的结果是倾向于“解释性”的，而非“预言性”的。2.分形维及其计算为了研究分形集的几何性质，传统的“长度”、“面积”和“体积”的概念已经不够用了。在分形几何学中主要采用了“分维数”的计算方法。所谓“分维数”是指在更深、更广泛的意义上定义n维空间中超越“长度、面积、体积”旧概念的新度量。它度量的是一个分形集“充满空间的程度”。例如，一个分形集图案的分维数为1.6，是指它在空间的分布比一维空间复杂一些，而比二维空间简单一些。传统几何学(欧几里得空间)中的维数只能是整数，而在分形几何中可以是任意正实数。计算“分维数”的方法有很多，因此，不同人采用不同计算方法所得的计算结果可能是不同的。但总的要求是：分维数必须能反映“在不断缩小直径的很小的比例下，去观测一个分形集,找出这个集的一个代表“维数”，使它能够反映出该图形的复杂程度，或“不规则程度的量度”，或“充满空间的程度”。这里列出一些常用的分维的计算方法：(1)改变粗视化程度的计算法这种方法比较适合复杂曲线的分维Do的计算。对曲线用不同的尺度公测量其长度,忽略比e小的细节，得到长度N(ε)。显然N(ε)随着ε的减小而增大，若两者之间符合下列幂函数关系N(ε)∝ε-D则该曲线的分维为Do=D。例如Koch曲线可用这种方法计算其分维。这种方法还适用于点分布、河流分布等情形的分维计算，而且可以推广到信息维Dl的计算。(2)根据测度关系的计茸法其基本原理是:改变观测的范围(一维尺度r),测得某个量(如M)随r变化的关系M(r)，若能满足下式：M(r)∝rD则认为M分布的维数是Do=D。如图3中圆内点数随圆半径的分布可用该法计算维数。图3.平面中点的分布(3)计盒维数法最典型而容易理解的求分维数的方法是“计盒维数法”(BoxCounting)。对一个平面中的分形集图形F来说，可以用宽度为占的正方形盒子打成方格网来覆盖这个图形。数一数共有多少个方格套上这个图形。然后，逐步缩小方格的宽度占，每次都来数一数覆盖这个图形的方格数目N。于是可以用下式：（2）估计出其盒分维数。几乎所有的分维数的定义都可以采取类似的形式。即式(2)的右边是一个δ→0的极限值。在实际计算时，当然不能取无限小，因为δ→0时，我们将无法数它的方格数目了。图4.用记盒数方法计算分维数3.分形几何的分类下图给出了分形几何的整体框架。严格线性分形指分形是严格自相似的，存在数学上的无限嵌套，如Cantor集、Koch曲线等。统计线性分形的自相似性仅在统计意义下成立，如布朗运动轨迹。在自然界，存在着许多具有自相似性的对象，但更广泛存在的是广义自相似、或称自仿射的对象。相似是在所有方向上以同一比率收缩或扩展一个几何体的均匀的线性变换，而仿射是在不同方向上按不同比率进行收缩或扩展的非均匀线性变换，自仿射分形是自相似分形的一种推广。因此，自仿射分形将会展现出比自相似分形更为广阔的应用范围。图5分形几何的整体框架三、分形几何学在地球物理中的应用1.现有应用在地震(这里指天然地震)研究中，近年来应用分形几何取得了一些成果。研究表明，地震活动在时间、空间及能量上都表现出分维特征。我们知道:地震越大，发生的次数越少，Gutenberg-Riehter关系(1941年)InN=a-bM(3)给出了地震发生频率与地震震级(M)之间的关系，其中N为震级在M以上的地震总次数，a为常数，b(0)为系数。震级(M)与地震能量(E)之间存在关系InE=A+1.5M(4)其中A为常数，当E以焦耳为单位时，A=4.8。因此，由(3)式和(4)式得到：N∝E-2/3b(5)这表明地震次数随能量的变化呈幂次关系。如用能量工作标度ε，则其分形维数为：DF=2b/3(6)一般情况下，b≈1，b值反映的地震大小(能量)分布的自相似性跨越了能量的15个数量级，这是十分惊人的自然线性分形的现象。Kazt(1986年)关于不均匀性质脆性破裂传播的模拟表明，破裂的尺度分布遵守幂次关系，这也说明了天然地震能量分布自相似的原因。Kagan和Knopoff(1980年)的研究表明了地震之间距离的分布具有分形特征。余震分布的大森幂指数法则(1900年)显示了地震在时间上存在的分形结构。值得强调的是，临震降维现象已成为地震预报中受到关注的一种前兆。由于地震孕育区地下介质中能量的聚集，使地震序列逐步从随机态向混沌态发展，从而使大震前地震分布的分维下降。很多实际资料分析表明，临震(大震)前地震序列表现出时间和空间上的降维现象，即大震前的地震序列分维数低于震后的地震序列分维数。2.可能的应用在地球物理中，