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分析力学期中考试习题课助教物理系博士一年级王大涛手机:15201510741邮箱:wdt14@mails.tsinghua.edu.cn富士康纳米中心203期中考试范围•第一章拉格朗日方程最重点的一章。虚功原理和拉氏方程的各种应用•第二章变分法非重点章节。最小作用原理和拉氏乘子法•第三章有心力诺特定理(旋转平移对称性);运动稳定性,轨迹方程;卢瑟福散射•第四章微振动阻尼振动和简正振动拉格朗日方程•1、判断约束是完整的还是非完整的?(y^2-x^2-z)dx+(z-y^2-xy)dy+xdz=0判断是否是一个函数的全微分,即可。约束方程与速度无关-完整约束约束方程不显含时间-稳定约束2.约束于抛物线上的小环(16分)(每一小题4分)(1)求小环的动力学微分方程(2)求能量积分(3)求约束力(利用小环的坐标速度和表示)(4)问小环处于金属丝上的什么位置,金属丝以怎样的不变角速度绕对称轴转动的条件下,小环能保持相对于金属丝静止?(1)求小环的动力学微分方程(任一形式均可)拉格朗日方程222222222000022222022222241241122111242410442yyyazzyvzyyaadvLmvmrmrmrvVrrdtyymymymgaayygyyyaaa得拉格朗日方程(2)能量积分:利用拉格朗日函数22222021112424LyyyLmymymgEyaa(4)平衡条件(任意位置均可平衡)200022ggyyaa•3、在一轴水平半径为R的固定半圆柱顶上,放一质量为m,长为l,高为h的匀质长方体,假定长方体相对圆柱体无滑动,求平衡位置并讨论稳定性𝑥=𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥是解题技巧,初始条件是得到常数关键•几道保分、简单、重要的题目•例题1.61.7•匀质杆在光滑水平面成一定角度,求解杆运动•球面摆问题小问题:在本题中,广义能量积分与拉格朗日一共三个方程之间是否是独立的?变分法•现阶段非难点重点内容,研究生课程会重点讲解•作业第二章第二题水平难度足矣•没有拉格朗日乘子的变分法题目•含有拉格朗日乘子的变分法题目求圆柱面rR上的短程线。解答:两点间公式:10221xxlyzdx曲面方程是:2220xyR得到:22,,xyzyRx令:22221HyzxyRx由于:00yyzzdHHdxdHHdx得到:22220101dydxyzdzdxyz令:221dsyzdx即为:220ddydxdsddzdxdsyRx得到:22dyxdsdzCdsyRxxxC根据第三式得到:22xdydxRx2222RxRxdxdzxdsxx22222222222RxdsdxdydzxCxdsx得到:21xxCR由此得到弧长为参数的参数方程:22221cos11sin1CxRsaRyCsbCzRsaR式子中的常数可以由起始点和终点坐标求得。有心力这一章本质就是角动量守恒和能量守恒比奈公式求轨道方程•本题考点:比奈公式,角动量守恒,抛物线轨道参数轨道稳定性问题有效势能的定义书3.40公式稳定性分析在物理学中非常重要!诺特定理本题的重要性在于“变通”地使用了nother定理•关于卢瑟福散射考点的猜想:•技巧性太强,不太可能直接让你推导•如果考了,必然是压轴难题•学霸们好好看P43-44,学渣可以直接放弃这一部分•有势中心力下质点的运动(16分)(1)直角坐标系中的牛顿动力学方程。(4分)(2)平面极坐标系中的牛顿动力学方程。(4分)(3)达朗贝尔方程。(4分)(4)拉格朗日方程。(4分)(1)直角坐标系中的牛顿动力学方程。以下任一表达式均可22222222VxyVxydVrdVrVrxmxxxxdrxrdrVxyVxydVrdVrVrymyyyydryrdr(2)平面极坐标系中的牛顿动力学方程。21202dVmrrFdrmrr(3)达朗贝尔方程。(1)(3)式均可(2)给一半22201cos2sinsincoscossinsin2coscossinsincos022VVmxxmyyxyVmrrrrrrxVmrrrrrrydVrmrrrmrrdr03r(4)拉格朗日方程。(4分)拉格朗日函数22212LmrrVr拉格朗日方程222020dVmrrdrdmrmrrrdt循环积分2LmrC能量积分22212mrrVrE微振动有一劲度系数为k的弹簧,连着一个质量为M的滑块,可沿光滑水平直线自由滑动,在滑块上系有一摆长为l,质量为m的单摆。直角坐标系的X轴铅直向下,Y轴水平向右,以弹簧为自然长度时滑块的位置为坐标原点,单摆的偏转角为θ,(见图)(1)确定自由度,选定广义坐标,求出拉格朗日函数。在微振动条件下,将拉格朗日函数简化。(2)利用拉格朗日方程,求体系做微振动时的振动频率(3)若去掉弹簧,求这个体系做微振动时的振动频率,初条件:0t时滑块的初位置0,0xy初速度00,xyv摆锤的初偏转角为0初角速度为0vl解得其运动规律。并做必要的讨论。评分标准:拉格朗日函数(4分)简化(2分);拉格朗日方程(2分)久期方程(2分)简正频率坐标(2分);无弹簧频率(2分)特解(2分)M=m扣三分之一-6分动能交叉项丢失,扣二分之一-8分(1)自由度数S=2,取滑块偏离平衡位置的位移x和单摆的偏转角为广义坐标222222222222211[(cos)(sin)]2211[(cos)2cos)(sin)]221[()2]211(1cos)22TMymlylMymlyyllMmymlymlVkymglkymglmgl2222211()222LTVMmymlymlkymgl已略去常数项(2)由拉格朗日方程得:2()00dLLMmymlkydtyydLLmlymlmgldt取0sinAt形式的试解22222()00yymlAkMmAmglmlAmlA久期方程如下:242222221,2(())0()()2()2MmlMmmglkmlkmglMmgklMmgklMmkglMl1211122212111222222221212111112222212sin()sin()sin()sin()()1,2sinsinyyiiiiiiyyCAtCAtyCAtCAtAkMmmlimlmglmlAAACtCtyAA(3)若去掉弹簧,即0k,通过取极限,可以得到相应的角频率1,2()()()20MmgMmgMmgMlMl和动力学方程()0()()0MmymlMlMmg引入mlqyMm得0()()0qMlMmg解得12101210sinsinmlqyCtCMmAtmlyCtCAtMm初条件:0t时滑块的初位置0,0xy初速度0,0xy摆锤的初偏转角为0初角速度为0vl0010001100010110011101sin0cossin0cos0sin0sin0vAAlmlmlyCAyCAmMmMvvtAllmvmvyttCCmMmM得特解讨论:在取微振动近似时,未涉及坐标y,因此虽然解得坐标y的变化范围并不小,结果还是合理的。预祝学弟学妹们期中考试顺利!
本文标题:分析力学期中考试习题课.
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