刚体的角动量.

1四、力矩作的功在刚体转动中,如果力矩的作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功。因为dsi=rid,并且cosi=sini,所以dddziiiiiMrFAsiniiirFAddddcosdcosiiiiiiiAFrFs在刚体转动中,外力所作的元功为iFmid,iidrdsiriFii2式中Mzi是外力Fi对转轴Oz的力矩。dddAFrMiiiizisin在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为式中是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz。Mziin1ddd11)(niziniiMAAdzM3如果刚体在力矩Mz的作用下绕固定轴从位置1转到2,在此过程中力矩所作的功为AMz12d力矩的瞬时功率可以表示为PAtMtMzzdddd式中是刚体绕转轴的角速度。dzdAM4五、动能定理(theoremofkineticenergy)zddAMdJdJdJddt在t1t2内，由12积分：2122211()2AJdJ＝定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：iighmiiiPhgmE重ciiimghhmg)(整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。系统--刚体+地球212cEmghJkpEEE机械能。刚体势能用质心势能表示。机械能守恒的条件仍为0AA外力非保力　，E恒量刚体机械能守恒7(1)从开始制动到停止,飞轮转过的角度；(2)闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。解：为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度和摩擦力矩所作的功A,必须先求得摩擦力、摩擦力矩和飞轮的角加速度。例4：一个转动惯量为2.5kgm2、直径为60cm的飞轮，正以130rads1的角速度旋转。现用闸瓦将其制动,如果闸瓦对飞轮的正压力为500N,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：d飞轮闸瓦Nf8闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积N1052N5005002..Nf方向如图所示。摩擦力相对z轴的力矩就是摩擦力矩,所以Nm75Nm30.0105.222dfMz摩擦力矩的方向沿z轴的负方向,故取负值。根据转动定理,可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角加速度，为2-2-srad30srad5275.JMzd飞轮闸瓦Nf9(1)对于匀变速转动,从开始制动到停止,飞轮转过的角度可由下式求得:2202所以rad1082rad3021300222202.(2)摩擦力矩所作的功J1012J10827542..zMA10另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理202410212.51302.1102AJJ－11m1m22T例5：质量为m1的物体置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸长的细绳拉着,细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为m2的物体,如图所示。已知滑轮是一个质量为M,半径为r的圆盘,轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与m1之间的绳子的张力、滑轮与m2之间的绳子的张力以及物体运动的加速度。1TaM12解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。列方程T1=m1a（1）m2gT2=m2a（2）对于滑轮TrTrJMr21212（3）辅助方程r=a（4）解以上四个联立方程式,可得1TNFgm1α2T1T2Tagm213Mmmgma21212MmmgmmT2121211MmmgmMmT212121212)(此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落了高度h时,可以列出下面的能量关系mghmmvJ212221212()（5）14式中v是当m2下落了高度h时两个物体的运动速率,是此时滑轮的角速度。因为,,所以得JMr122vrmghmmMv21221212()由此解得hMmmgmv2122122（6）mghmmvJ212221212()15将v2=2ah代入(6)式,可以求得两个物体的加速度21212mgammM根据,立即可以求得张力T1Thmv11212MmmgmmhvmT212121211121hMmmgmv2122122（6）16根据或()mgThmv222212TrTrJ21可以立即算出张力T2MmmgmMmT212121212)(以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法,都应该理解和掌握。如果忽略滑轮的质量，则有122121mmgTTmm17解：（1）要求转动动能Ek，必须求出均匀细棒相对于通过过端点轴的转动惯量J,例题6长度为l、质量为m的均匀棒悬挂在通过其顶端的水平轴上，并可绕此轴在竖直平面内作无摩擦的摆动。如果棒自由摆动通过平衡位置时，低端的速率为v，试求：（1）棒通过平衡位置时的转动动能;（2）棒摆动的最大偏角m；（3）在从平衡位置到达最大偏角m的过程中，在任一位置时棒的角加速度。xl18213Jml棒通过平衡位置时低端的线速度为v，则棒此时角速度为vl此时棒的转动动能为22221111()2236kvEJmlmvl（2）假设棒处于平衡位置的重力势能为零，当它摆动到最到偏角时，质心位置升高了h，则(1cos)2mlh19根据机械能守恒定律，当棒达到最大偏角时应有212Jmgh将J和h代入上式，可以得最大偏角：2cos13mvgl（3）在从平衡位置达到最大偏角的过程中，棒受到由自身重力引起的力矩的作用，此力矩与棒的偏角有关，可表示为sin2zlMmg20棒的角加速度就是由该力矩引起的。所以，根据转动定理有zMJ21sin23lmgml解得棒的角加速度为3sin2gl角加速度的方向与力矩的方向同向，他们都与角速度的方向相反。21例题7一根长度为L、质量为m的均匀棒放置在水平桌面上，其一端固定，在外力矩作用下此棒可绕此固定点沿桌面转动。在某时刻将外力矩撤去，此时棒的角速度为0，由于棒与桌面之间存在摩擦，经过一段时间棒停止运动。若棒与桌面之间的滑动系数为，试求从外力矩撤去到棒停止转动，棒转过的转数和摩擦力矩所作的功。解：由于摩擦力矩的作用，棒的转动状态不断改变，最后停止，因此，此题的关键是求摩擦力矩。求得摩擦力矩后，根据转动定理求角加速度，然后根据力矩作功求摩擦力矩所作的功。22（1）求摩擦力矩摩擦力矩是由桌面对棒的摩擦力引起的。由于棒上各处到固定点的距离不同，产生的力矩不同。将棒分成若干棒元，棒元长度为dl,质量为：mdmdldlL在距固定端l处的棒元所受桌面的摩擦力mdfgdmgdlL此摩擦力对棒提供的力矩为zmdMldfgldlLdlxyol23若取z轴垂直桌面向上，棒的角速度沿z轴向上，为正值，而摩擦力矩的方向必定沿轴的负方向，故取负值。则摩擦力矩为：012lzzmMdMgldlLmgL（2）求角加速度根据转动定律zMJ其中，棒相对一端的转动惯量213JmL32gL角加速度为负值，表示为减速转动24（3）求外力矩撤去后棒转过的转数选求转过的总角度。根据匀变速定轴转动规律2002将代入上式：22123ooLg转动的转数为：2126oLng（4）求摩擦力矩所作的功2200111226zoAMdLmgdLmgmL＝25另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理20102AJ－将转动惯量代入上式即可213JmL2216oAmL26设刚体绕z轴作定轴转动，体元mi对轴的角动量lzi=rimivi是角速度,vi=ri。lzi=ri2mi或整个刚体对转轴的角动量LlrmJzziii()2Lz等于转动惯量与角速度的乘积。一、刚体对转轴的角动量(Angularmomentum)riviOiz·mi§5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律27注意：2.在刚体对转轴的角动量的表达式中，所涉及的三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢量式。3.对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量L必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢量式LJpmv1.与质点动量表达式对比zLJ28二、刚体对转轴的角动量定理将转动定理Mz=J写成下面的形式:dd()ddzMJJJtt实验表明,此式更具普遍性。由上式得到MtJLtzzdddd()刚体对转轴的角动量定理作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。29角动量定理也可以写为ddzzMtLMzdt称为冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。对上式积分得到角动量定理的积分形式1221dJJtMttz该式表示：动量的增量等于力矩对定轴转动刚体的时间累积效应30刚体对转轴的角动量守恒定律当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。ddLJz()0LJz恒量如果Mz=0,则三、刚体对转轴的角动量守恒定律ddzzMtLdJ31注意：1.该定律的应用条件，是刚体或刚体组必须满足所受外力的合力矩为零；2.角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴；3.若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚体之间可以发生相对运动，但是它们必须是相对于同一转轴在转动.zLJ恒量32刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。33花样滑冰中常见的例子花样滑冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小34万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒恒矢量回转仪定向原理其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响基座回转体（转动惯量）35例1:一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求由此下摆角时的角加速度和角速度。JmglMcos21＝解:棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。重力作用在棒的重心,当棒处在下摆角时，重力矩为：l/2xOP36lgmlmglJM2cos331cos212231mlJ棒处于θ角时的角加速度为：由角加速度的定义tdd重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。因为棒绕轴O的转动惯量为：l/2xOP37ttdddddddddcos23ddlg作如下变换将上式两边积分3singl角速度为003dcosd2gl38例题2一个质量为100kg的圆盘状平台，以1.05rads-1的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边缘站着一个质量为60kg的人。问当人从平台边缘走到盘的中心时，平台的转速时多少？解：因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩的作用。若把人和平台看成一个系统，应满足角动量守恒定律，则当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为：2211212JmRmR1122JJ39当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量，即2