线代矩阵

:识点内在联系图个知《线性代数》知识篇四矩阵线性方程组行列式向量组一一对应一一对应一一对应求解公式“克拉默法则”引出特征问题第一章矩阵矩阵一、主要内容二、典型例题主要内容、矩阵的定义1、常见的几类矩阵2、同维矩阵、相等矩阵3、矩阵相加4、数乘矩阵5、矩阵相乘、转置6、方阵的运算7、一些特殊的矩阵8、逆矩阵9、分块矩阵10、初等变换的定义11、等价矩阵12、初等矩阵13、矩阵的标准形分解14.,)1(),2,1;,2,1(212222111211矩阵简称列矩阵行叫做列数表行排成的个数由nmnmAnmnjminmaaaaaaaaaamnmmnnij１矩阵的定义...,复矩阵元素是复数的矩阵叫做实矩阵元素是实数的矩阵叫做列元素行第的第阵叫做矩的元素个数叫做矩阵其中jiAaAnmij.),()()1(AAnmaAaAnmijijnm也记作矩阵或式可简记为.)(;2121行矩阵叫做只有一行的矩阵叫做列矩阵只有一列的矩阵aaaAaaaAnm２常见的几类矩阵.,,)1(阶方阵称为时当式对nAnm.,O记作零矩阵元素都是零的矩阵称为.,,,1Inn简记作阶单位阵叫做阶方阵其余元素都是零的主对角线上的元素都是主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．.,,对角矩阵为则称其余元素全为零主对角线以外A两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同维矩阵．.,).,,2,1;,,2,1(,,)()(BABAnjmibabBaAijijijij记作相等与矩阵那么就称矩阵即们的对应元素相等并且它是同维矩阵与如果３同维矩阵和相等矩阵.,)(,)(,)(的和与称为矩阵加法定义为为两个同维矩阵设BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm交换律结合律4矩阵相加).(,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij并规定从而有负矩阵的称为矩阵记设ABBA)()(CBACBA).(,aAAAAAij规定为或的乘积记作与矩阵数运算规律);()(AA;)(AAA.)(BABA5数乘矩阵.均为常数，其中.),,2,1;,,2,1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm记作其中矩阵是一个的乘积与规定设6矩阵相乘、转置注意：!BA左乘这叫运算规律);()(BCACAB);(),()()(为数其中BABAAB;)(,)(CABAACBACABCBA.IAAAInnmnmnmm则称若一般地，,,BAABBAABBA与.,,.即消去律不成立或不能推出一般地是可交换的OBOAOAB矩阵转置..,,运算这个动作叫做转置记作的转置矩阵叫做阵到一个新矩的行换成同序数的列得把矩阵AAAT.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT运算规律.为常数其中n阶方阵的幂.,,,,,111121是正整数其中定义阶方阵是设kAAAAAAAAnAkk.,,)(,为正整数其中lkAAAAAklkllklk.)(BAABkkk一般地7方阵的运算对称矩阵.,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设AAAnAT反对称矩阵.,,矩阵为反对称则称如果阶方阵为设AAAnAT幂等矩阵.,,2为幂等矩阵则称如果阶方阵为设AAAnA8一些特殊的矩阵正交矩阵.,,正交矩阵为则称如果阶方阵为设AIAAAAnATT对合矩阵.,,2为对合矩阵则称如果阶方阵为设AIAnA定义.,,1AAAA矩阵记作的逆的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若注9逆矩阵.),(,,的逆矩阵称为且矩阵秩的、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵使如果存在矩阵阶方阵为设ABAIBAABBnA.,IBAIABA则若为方阵时注相关性质.)()();0(1)(;)(111111AAAAAATT.)(,,111ABABABBA且也可逆那么都可逆与若同阶方阵推广112112112121)(,)(,,,AAAAAAAAAAAAnnnn且也可逆那么都可逆若同阶方阵矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．10分块矩阵需要特别注意的是：srsrAAAAA1111)1(若TsrTrTsTTAAAAA1111则121sAOAOA均可逆，则若每个子块),1()2(siAi;11211sAOAOA121sAAA11121AAAs);(),(crijij记作列对调矩阵的两行));()((,)(0crii记作中的所有元素列乘某一行以数)).()((,)()(kkkcrijij记作对应的元素上去列倍加到另一行所有元素的列把某一行11初等变换的定义交换两行（列）数乘变换数乘及加法变换逆变换初等变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．)(crijij)(crijij))(()(crii))(()(kkcrijij))1(()1(crii))(()(kkcrijij.~,,BABABA记作等价与称矩阵就矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵反身性传递性对称性;~AA;~,~ABBA则若.~,~,~CACBBA则若12矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵．13初等矩阵由单位矩阵仅经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．I).(:,)(rijijnmijjiAAaARm行对调第行与的第把施行第一种初等行变换对矩阵相当于左乘阶初等矩阵用（１）交换两行（列）：对调两行（列），得初等矩阵．).(:,,cijijjiAAACn列对调列与第的第把施行第一种初等列变换于对矩阵相当右乘矩阵阶初等矩阵用类似地)(ijijCR（２）数乘变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．));((,)(riiiAAR行的第乘（非零）相当于以数左乘矩阵以))(()(iiCR));((,)(ciiiAAC列的第乘（非零）相当于以数右乘矩阵以（３）数乘及加法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．));((,)(kjkiAAkRrijij行上加到第以行乘的第相当于把左乘矩阵以k))(()(kCkRijij));((,)(kjkiAAkCcijij列上加到第以列乘的第相当于把右乘矩阵以对任何矩阵，总可经过有限次初等变换，而得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如00000310003011040101)1(24)1(1434)3(35)3(25)4(15~cccccc0000000100000100000114矩阵的标准形分解.,,,,),(,有关的数是个与其中三个数完全确定此标准形由化为标准形换和列变换行变总可以经过初等变换矩阵任何一个nmrrnmrNnmOOOInm注意有四种变形：标准形N;,)1(OIr;)2(OIr;)3(rIOI0)4(一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明四、矩阵的分块运算典型例题三、求逆矩阵的初等变换法五、解矩阵方程的初等变换法例１一、矩阵的运算.,101020101,2BAIABBA求且已知.201030102,))(()(:2IABIAIAIAIABIA所以可逆因为由已知得解例２.,3332221112003AA试求已知矩阵，其中解：由于321,1,1,1321TA,1,1,1T于是，有个20032003)()()()()(TTTTTA,6321]1,1,1[T又，结合矩阵乘法的结合律则有TTTT个2002)()()(个20032003)()()()()(TTTTTAAT2002200266.解毕.);)(););)).(,,32BABDABCBAABBBAABAnBnA为反对称阵的是则下列矩阵中阶反对称阵是阶对称阵是设例.,,,)]()[(为对称阵其实选DCABBAABBAABBAABTTTTT例4.)0(的逆矩阵求bcaddcba解用定义求逆阵,43211xxxxA设得由,1IAA二、逆矩阵的运算及证明,10014321xxxxdcba.1,0,0,142423131xdxcxbxaxdxcxbxa则有.,,,4321bcadaxbcadcxbcadbxbcaddx解得.11acbdbcadA注.,元方程组矩阵的各列的同而常数项分别为单位个系数相实质上是求解的逆依定义求nnA的“两调一除”法：此即求二阶矩阵逆矩阵1dcba.1acbdbcad.解毕,322OIAA;)2(11IA）求（.)4(21IA）（5例满足已知方阵A解由)1(,3)2(,322IIAAOIAA得于是有3)2(1AIA由)2(得,322OIAAIIAIA5)2()4(于是有5)2()4(1IAIA.解毕.,,)(,1AIIAIAA变成了就原来的时变成当把施行初等行变换只需对分块矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵.,,1AIIAIA就变成了原来的时变成当把施行初等列变换或者对分块矩阵三、求逆矩阵的初等变换法例6求下述矩阵的逆矩阵．111211120A解.),(施行初等行变换作分块矩阵IA100111010211001120100111001120010211~12r100111001120010211110100001120010211~)1(13r110100111020010211~)1(23r110100111020210011~)2(31r110100212121010210011~)21(2r110100212121010252321001~)1(21r110100212121010210011已经是单位矩阵了！.1102121212523211A得注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．110100212121010252321001~|IA由.解毕则由阶矩阵均为其中设),2,1,(,222112111jinXXXXXDij.,,,的逆矩阵并求必为可逆矩阵证明阶可逆矩阵都是设DBCOADnBA证例7四、矩