巴特沃斯滤波器

6.2模拟滤波器的设计——巴特沃斯低通滤波器的设计第一小组成员：付晓玮危静张文林赵朝阳张建中杨浩澎本节内容：1.模拟滤波器的设计总述；2.巴特沃斯低通滤波器的设计原理；3.关于巴特沃斯低通滤波器设计的例题；I.模拟滤波器的设计总述模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。典型滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器:具有单调下降的幅频特性；切比雪夫（Chebyshev）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波动，可提高选择性；贝塞尔（Bessel）滤波器：通带内有较好的线性相位；椭圆（Ellipse）滤波器：选择性最好，但相位特性的非线性严重。选频型模拟滤波器按频率特性可分为低通，高通，带通和带阻滤波器。它们的理想幅频特性如图所示：)(jaΩHΩΩΩΩ低通带通带阻高通)(jaΩH)(jaΩH)(jaΩH000c图6.2.1各种理想滤波器的幅频特性模拟滤波器设计指标通带过渡带阻带()aHj2111A.77scp图6.1.1典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标描述滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的技术指标，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.6)2()()()()()aasjaaHjHsGsHjHj2()()()()()aasjaaHjHsGsHjHjButterworth低通滤波器具有通带最平幅度逼近特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布上Ωc的圆上,并且与虚轴对称。其最主要特点：在通带内，幅频最平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅度平方函数为II.巴特沃斯低通滤波器的设计原理221()1()aNcHj(6.2.7)在Ω=Ωc附近，随Ω加大，幅度迅速下降，幅度特性与Ω和N的关系如下图所示：图6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的关系幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快，总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：21()()1()aaNcHsHssj(6.2.8)此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：1121()222(1)()kjNNkccsje(6.2.9)k=0,1,2,3，······，2N-1。当N=3时：图6.2.4三阶巴特沃斯滤波器极点分布•极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点•极点间的角度间隔为∏/Nrad•为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为10()()NcaNkkHsss(6.2.10)23012321334135jccjcjccjcsessesesse取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：32233()()()()aajjcccHsssseg：设N=3，极点有6个，它们分别为23012321334135jccjcjccjcsessesesse23012321334135jccjcjccjcsessesesse由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为•Gɑ(s/Ωc)令λ=Ω/Ωc，p=s/Ωc=jΩ/Ωc,λ称为归一化频率；p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为101()()aNkkccHsss(6.2.11)101()()aNkkHppp(6.2.12)G式中，pk为归一化极点，用下式表示：121()22,0,1,,1kjNkpekN(6.2.13)显然，Sk=Ωcpk(6.2.14)这样，只要根据技术指标求出阶数N，再求出N个极点Pk，按照(6.2.12)得到归一化低通原型系统函数Ga(p),若给定Ωc,再去归一化，即将p=s/Ωc代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望设计的系统函数Ha(s)。将极点表达式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga(p)的分母是p的N阶多项式，如下：归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，K=0,1,2,······,N-1，以及极点Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表就可以得到Ga(p)及各极点，而且还可以选择级联型和直连型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解的运算工作。bpbpbpbppGNNNNNa0122111(6.2.15)表6.2.1巴特沃斯归一化低通滤波器参数将Ω=Ωs代入(6.2.7)式中，再将|Ha(jΩs)|2代入(6.2.3)式中，得到：(6.2.16)(6.2.17)由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc，就可求出滤波器的系统函数Ha(s)，故，巴特沃斯滤波器的设计实质就是根据设计指标求阶数N和3dB截止频率Ωc的过程。下面先介绍阶数N的确定方法。/10/10221()101()10psapNcaNsc阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带，阻带的幅度下降速度,它由技术指标Ωp，αp，Ωs和αs确定。将Ω=Ωp代入幅度平方函数(6.2.7)中,再将幅度平方函数|Ha(jΩs)|2代入(6.2.2)中，得到：/10/10221()101()10psapNcaNsc由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：1010101/,101psaspspspak/10/10101()101psapNas令1010101/,101psaspspspak则N由下式表示：lglgspspkN(6.2.18c)(6.2.18a)(6.2.18b)lglgspspkN用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出，由(6.2.16)式得到：10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs由(6.2.17)式得到：(6.2.19)(6.2.20)通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs,用(6.2.18)式求出滤波器的阶数N。(2)按照(6.2.13)式,求出归一化极点pk,将pk代入(6.2.12)式,得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。(3)将Ga(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ga(p),得到实际的滤波器系统函数Ha(s):Ha(s)=Ga(p)|p=s/Ωc例6.2.1已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解(1)确定阶数N。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNNIII.关于巴特沃斯低通滤波器设计的例题0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN(2)按照(6.2.13)式，其极点pK为3455016523754,,jjjjjsesesesese按照(6.2.12)式，归一化传输函数为401()()akkHppp上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。5432432101()aHppbpbpbpbpbG极点：-0.3090±j0.9511;-0.8090±j0.5878;-1.0000五阶多项式这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：式中：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率Ωc。按照(6.2.19)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskrads将Ωc代入(6.2.20)式，得到：将p=s/Ωc代入Ga(p)中得到：554233245432()10cacccccHssbsbsbsbsbG10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckradskradsTHANKYOU!