人教版八年级数学上册课题学习最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题我们以前学过哪些线段最短的问题？1.两点间线段最短；2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。通常把以上两个问题称为“最短路径问题”，今天，我们来学习新的最短路径问题！一、饮马问题如图，牧马人从马棚A牵马到河边l饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？分析：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，AC+CB的和最小？lABCC转化为数学问题联想如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？两点之间，线段最短.连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求.B·lA·思考：能把A、B两点从直线l的同侧转化为异侧吗？分析：lABClABC作法及思路分析1.作点B关于直线l的对称点B′，连接CB′。3.连接AB′两点，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求。2.由上步可知AC+CB=AC+CB′，即把A、B两点从直线l的同侧转化为异侧。B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？归纳lABClABCB′lABC转化为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题提示：本题也可作A点关于直线l的对称点变式练习1如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚A.问题：请你确定这一过程的最短路径.小河A如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在l1、l2的什么位置?l1l2AMNA’A’’转化为数学问题分别做点A关于l1、l2的对称点A’、A’’，连接A’、A’’与l1、l2的交点M、N即为所求。变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天的最短路线。如图，在l1、l2之间有点A、B,要使AP+PQ+QB最小,点P、Q应该在l1、l2的什么位置?转化为数学问题分别做点A、B关于l1、l2的对称点A’、B’，连接A’、B’与l1、l2的交点P、Q即为所求。PQABB’l1l2A’(3)两点在两相交直线内部2.关键：作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短”来解决。(2)一点在两相交直线内部(1)两点在一条直线同侧l1l2l1l21.学了三种情况下的最短路径问题如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）二、造桥选址问题当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？连接A′B与b相交于N，N点即为所求.1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小...AB(1)..2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.3.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.解：如图，作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.4.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.解：如图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B′，P在同一条直线上时，PA-PB′最大，即PA-PB最大.