极限求法总结

极限的求法1极限的求法1.直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为例1.求.分析由于,所以采用直接代入法.解原式=2．利用极限的四则运算法则来求极限为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号)(limxf表示)(xf在某个极限过程中的极限，因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下：定理在同一变化过程中，设)(lim),(limxgxf都存在，则（1）)]()(lim[xgxf)(lim)(limxgxf（2）)]()(lim[xgxf)(lim)(limxgxf（3）当分母)(limxg0时，有)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例2.求11lim2xxx。解11lim2xxx)1(lim)1(lim22xxxx313．无穷小量分出法适用于分子、分母同时趋于,即型未定式极限的求法2例3．分析所给函数中，分子、分母当时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当时，分子、分母同时趋于，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.为什么所给函数中,当时，分子、分母同时趋于呢?以当说明：因为,但是趋于的速度要比趋于的速度快，所以.不要认为仍是(因为有正负之分).解原式(分子、分母同除)（运算法则）（当时，都趋于.无穷大的倒数是无穷小.）4.消去零因子法适用于分子、分母的极限同时为0,即型未定式例4．分析所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.解原式=(因式分解)极限的求法3=(约分消去零因子)=(应用法则)=5.利用无穷小量的性质例5．求极限分析因为不存在,不能直接使用运算法则,故必须先将函数进行恒等变形.解原式=(恒等变形)因为当时,,即是当时的无穷小,而≤1,即是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小,得=0.6.利用拆项法技巧例6：))12)(12(15.313.11(limnnn分析：由于))12)(12(1nn=)12112(1(21nn原式=21)1211(21)]121121()5131()311[(21limlimnnnnn7.变量替换例7求极限.极限的求法4分析当时,分子、分母都趋于,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.解原式==(令,引进新的变量,将原来的关于的极限转化为的极限.)=.(型,最高次幂在分母上)8.分段函数的极限例8设讨论在点处的极限是否存在.分析所给函数是分段函数,是分段点,要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.解因为所以不存在.注1因为从的左边趋于,则,故.注2因为从的右边趋于,则,故.极限的求法5极限的求法6极限的求法7极限的求法8极限的求法9极限的求法10极限的求法11极限的求法12极限的求法13