圣维南原理的概念及应用

高等岩石力学第二讲：特殊边界处理与网格划分问题平面问题的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.几何方程yuxvyvxuxyyx（2-9）3.物理方程（平面应力问题）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1(2（2-15）4.边界条件位移：vvuuss（2-17）应力：（2-18）00yyxyxyxxfyxfyxysxysyxsxysxflmfml)()()()(例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1),0x00ssvu0,0xvyu(2),ax0,1mlysxysyxsxysxflmfml)()()()(0,0sxysx(3),hy1,0mlqsxysysxysx0)1(0)1(00,0sxysy(4),hy1,0ml00)1(0)1(0sxysysxysx0,sxysyq说明：x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：.0,0vu0,0yxff0,0yxff0,xyffq例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：sin,cosmlsinyfycosxyf由应力边界条件公式，有ysxysyxsxysxflmfml)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：sin,cosmltanyxtanyx0yxff0cossinxyyx0sincosxyx例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即0yxffAB边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有ysxysyxsxysxflmfml)()()()(0cossin0sincos2222xyyxyx（1）AC边界：1222sincosml代入应力边界条件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得0xyyx∴A点处无应力作用ZS《RockMassMechanics》2020/1/6ZSZS《RockMassMechanics》1.为什么要用圣维南原理？2.如何应用圣维南原理？3.圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？4.圣维南原理中主矩是对那个点取矩？5.圣维南原理中边界的面力和应力的关系？6.什么是主要边界？什么是次要边界？7.为什么正应力对中心点取矩不为零？问题的提出：PPP求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1.、静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。)(iOOFmMiFR这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。2.、圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP3.、圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界PAP次要边界ZS《RockMassMechanics》2020/1/6ZS例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：0,1ml0yxffysxysyxsxysxflmfml)()()()(代入应力边界条件公式0hxxyhxxy右侧面：0,1ml0,yxfyf代入应力边界条件公式，有00hxxyhxx上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：dxyhhy0)(sinP对O点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：xyy,必须按正向假设！yPxyyx上端面：（方法2）取图示微元体，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP0xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可见，与前面结果相同。注意：xyy,必须按正向假设！由微元体的平衡求得，例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。xyxy解材料力学解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？,yIPxx,yIPyxy,0xxy,0yy0YX代入平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）显然，平衡微分方程满足。00yIPyIP0000式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？0,022hyyxhyy——满足00xx——满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx——近似满足近似满足结论：式（a）为正确解0)(2222yxyx代入相容方程：02222xyIPyx0上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：ZS《RockMassMechanics》2020/1/6ZSZS《RockMassMechanics》1.孔边应力集中概念由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的应力集中。应力集中系数：maxK与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：max带有圆孔的无限大板（Ba），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用。求：孔边附近的应力。ZS《RockMassMechanics》（2）问题的求解问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。),(rA取一半径为r=b(ba），在其上取一点A的应力：OxybAqxArrrA由应力转换公式：2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。rrbZS《RockMassMechanics》rr新问题的边界条件可表示为：xyba内边界0arr0arr外边界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）问题12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2cos2qr2sin2qrba问题2将外边界条件（a）分解为两部分：ZS《RockMassMechanics》问题12qrba问题1的解：内边界0arr0arr外边界2qbrr0brr（b）该问题为轴对称问题，其解为2112222qbarar2112222qbara0r当ba时，有2122qrar2122qra0r（d）ZS《RockMassMechanics》问题2的解：rrba问题2（非轴对称问题）内边界0arr0arr外边界2cos2qbrr2sin2qbrr（c）2sin2qr2cos2qr由边界条件（c），可假设：为r的某一函数乘以；为r的某一函数乘以。r2cosr2sin又由极坐标下的应力分量表达式：22211rrrrrrr1可假设应力函数为：2cos)(rf将其代入相容方程：011222222rrrrZS《RockMassMechanics》02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd与前面类似，令：)ln(rtert或有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd该方程的特征方程：01644234特征根为：,41,22,0324方程的解为：tttDeCBeAetf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrArZS《RockMassMechanics》2cos1224rDCBrArrrba问题22sin2qr2cos2qr相应的应力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr对上述应力分量应用边界条件（c）,有内边界0arr0arr外边界2cos2qbrrsin2qarr（c）（e）ZS《RockMassMechanics》264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得rrba问题22sin2qr2cos2qr,0A,4qB,2qaC44qaD代入应力分量式（e）,有2cos31244raq2cos)31)(1(22222raraqr2sin)31)(1(22222raraqrr（f）ZS《RockMassMechanics》将问题1和问题2的解相加,得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1(2)1(2222222raraqraqr2sin)31)(1(22222raraqrr（4-17）讨论：（1）沿孔边，r=a，环向正