函数与导数专题复习

1函数与导数专题复习类型一导数的定义运算及几何意义例1：已知函数)(xf的导函数为)('xf，且满足xxfxfln)1(2)('，则)1('f（）A．-ｅB.-1C.1D.e解：xfxf1)1(2)(''，1)1(1)1(2)1('''fff【评析与探究】求值常用方程思想，利用求导寻求)('xf的方程是求解本题的关键。变式训练1曲线33xxy在点（1,3）处的切线方程为类型二利用导数求解函数的单调性例2：dcxbxxxf2331)(何时有两个极值，何时无极值？)(xf恒增的条件是什么？解：,2)(2'cbxxxf当0442cb时，即cb2时，0)('xf有两个异根2,1xx，由)('xfy的图像知，在2,1xx的左右两侧)('xf异号，故2,1xx是极值点，此时)(xf有两个极值。当cb2时，0)('xf有实数根0x，由)('xfy的图像知，在0x左右两侧)('xf同号，故0x不是)(xf的极值点当cb2时，0)('xf无根，当然无极值点综上所述，当时cb2，)(xf恒增。【评析与探究】①此题恒增条件cb2易掉“=”号，②cb2时，根0x不是极值点也易错。变式训练2已知函数bxxgaxxxf232)(,)(，它们的图像在1x处有相同的切线⑴求函数)(xf和)(xg的解析式；2⑵如果)()()(xmgxfxF在区间3,21上是单调增函数，求实数m的取值范围类型三函数的极值与最值问题例3已知2)(,ln)(2xxgaxxxxf⑴对一切,0x，)(xf)(xg恒成立，求实数a的取值范围；⑵当1a时，求函数)(xf在)0(3,mmm上的最值；解：对一切,0x，)(xf)(xg恒成立，即2ln2xaxxx恒成立。也就是xxxa2ln在恒成立令xxxxF2ln)(则22')1)(2(211)(xxxxxxF在（0,1）上，)('xF0，在（1，）上)('xF0，因此，)(xF在1x处取最小值，也就是最小值，即3)1()(minFxF，所以3a⑵当1a时,2ln)(,ln)('xxfxxxxf，由2'10)(exxf得①当210em时，在21,emx上，0)('xf，在3,12mex上，0)('xf，因此，)(xf在21ex处取得极小值，也是最小值，2min1)(exf由于01)3ln()3()3(,0)(mmmfmf因此1)3ln()3()3()(maxmmmfxf②当21em时，0)('xf，因此)(xf在3,mm上单调递增，所以1ln)()(minmmmfxf，1)3ln()3()3()(maxmmmfxf3【评析与探究】①)(xf)(xg恒成立，求实数a的取值范围常用分离常数法化为min)(xha，当不能分离常数时需视情况讨论；②区间含参数而函数不含参数讨论最值时，最好作出其图像，从左自右地移动区间，观察函数图像的变化，然后求解，这样对区间参数的讨论就会直观明了.变式训练3已知函数bxxxgaaxxf32)(),0(1)(⑴若曲线)(xfy与曲线)(xgy在他们的交点（1，c）处具有公共切线，求ba,的值⑵当9,3ba时，若函数)(xf+)(xg在区间2,k上的最大值为28，求k的取值范围类型四导数与方程不等式问题例4设函数)1ln(2)1()(2xxxf⑴若在定义域内存在0x，使得不等式0)(0mxf能成立，求实数m的最小值⑵若函数axxxfxg2)()(在区间2,0上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围解：⑴要使得不等式0)(0mxf能成立，只需min)(xfm，求导得1)2(2112)1(2)('xxxxxxf函数的定义域为),1(当)0,1(x时，0)('xf，所以函数在区间)0,1(上是减函数当),0(x时，0)('xf，所以函数在区间),0(上是增函数1,1)0()(minmfxf，所以最小值为1⑵)()1ln(2)1()(22axxxxxg，由题设可得：方程axx)1ln(2)1(在区间2,0上恰好有两个相异实根。设)(xh)1ln(2)1(xx画出函数)(xh的草图得3ln232ln22a4【评析与探究】利用导数作出函数的草图，有助于求解函数的零点问题变式训练4已知函数xxf)(，函数xxfxgsin)()(是区间1,1上的减函数⑴求的最大值⑵若1)(2ttxg在x1,1上恒成立，求t的取值范围⑶讨论关于x的方程mexxxfx2)(ln2根的个数类型五优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元）满足关系式2)6(103xxay，其中63x，a为常数。已知销售价格为5元，每日可销售出该商品11千克。⑴求a的值⑵若该商品的成本为3元，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品利润最大解：⑴因为5x时，11y，所以2,11102aa⑵由⑴可知，商场每日销售量2)6(1032xxy，所以商场每日销售该商品所获得的利润)63()6)(3(102)6(1032)3()(22xxxxxxxf从而)6)(4(30)6)(3(2)6(10)(2'xxxxxxf得，4x是函数)(xf在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值，所以当4x时，函数)(xf取得最大值，且最大值等于42【评析与探究】求解优化问题的关键在于从实际情境中收集整理信息，利用相关知识建立目标函数，抽象出函数表达式然后再用导数求解。变式训练5某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元-1000万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%⑴若建立函数)(xf模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数)(xf模型的基5本要求⑵现有两个奖励函数模型①2150xy②3lg4xy试分析这两个函数模型是否符合公司要求？强化闯关1.设)(xf在区间,上可导，其导函数为)('xf，给出下列四组条件①p:)(xf是奇函数,q:)('xf是偶函数②p:)(xf是以T为周期的函数，q:)('xf是以T为周期的函数③p:)(xf在,上为增函数，q:0)('xf在,上恒成立④p:)(xf在0x处取得极值，q：0)(0'xf其中p是q的充分条件的是A①②③B①②④C①③④D②③④2.已知定义在R上的奇函数为)(xf，设其导函数为)('xf，当0,x时，恒有)()('xfxxf，令)()(xxfxF，则满足)12()3(xFF的实数x的取值范围是A2,1B21,1C2,21D1,23.设函数xxexf)(，则A1x为)(xf的极大值点B1x为)(xf的极小值点C1x为)(xf的极大值点D1x为)(xf的极小值点64.已知函数xxaxxfln)3(21)(2时其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围5.直线bkxy与曲线xaxyln22相切于点p（1,4），则b的值为6.设2,1xx)(2,1xx是函数xabxaxxf223)(的两个极值点，若2221xx，则b的最大值为7.已知函数xekxxfln)(（k为常数），曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线与x轴平行⑴求k的值⑵求)(xf的单调区间⑶设)()()('2xfxxxg，其中)('xf为)(xf的导函数，证明：对任意21)(,0exgx8.设函数cxxxgaxaxxxf42)(,31)(223⑴试问函数)(xf能否在1x时取得极值？说明理由；⑵若1a，当x4,3时，函数)(xf与)(xg的图像有两个公共点，求c的取值范围