函数单调性和最值专题

星辰教育培训中心第1页共8页函数专题：单调性与最值一、增函数1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3.增函数的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．二、函数的单调性如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。【判断函数单调性的常用方法】1、根据函数图象说明函数的单调性．例1、如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1星辰教育培训中心第2页共8页【针对性练习】下图是借助计算机作出函数y=－x2+2|x|+3的图象，请指出它的的单调区间．2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．例2、证明函数xxy1在（1，+∞）上为减函数．例3、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．星辰教育培训中心第3页共8页例4、已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．例5、判断一次函数ykxb(0)k单调性.例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论〖针对性练习〗1.函数1yx的单调区间是（）A．（-，+）B.（-，0）（1，，）C.（-，1）、（1，）D.（-，1）（1，）星辰教育培训中心第4页共8页2.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是().A．32yxB．3yxC．245yxxD．23810yxx3．函数223yxx的增区间是（）。A．[-3，-1]B．[-1,1]C．113a(,3)D．(1,)4、已知函数1()fxxx，判断()fx在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。5、定义在（－1，1）上的函数()fx是减函数，且满足：(1)()fafa，求实数a的取值范围。6、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆1、定义：设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：星辰教育培训中心第5页共8页函数单调性()ugx增增减减()yfu增减增减()yfgx增减减增例1、已知()1,()32yfuuugxx，求()yfgx的单调性。例2、已知2()1,()1yfuuugxx，求函数()yfgx的单调性。〖针对性训练〗1、已知2()1,()1yfuuugxx，求函数()yfgx的单调性。2、已知2()82fxxx，如果2()(2)gxfx，那么()gx（）A.在区间（-1，0）上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数C.在区间（-2，0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数星辰教育培训中心第6页共8页三、函数的最大（小）值1．函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，称M是函数()yfx的最大值．2）最小值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()fxM；（2）存在0xI，使得0()fxM．那么，称M是函数()yfx的最小值．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0xI，使得0()fxM；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有()(())fxMfxm．2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．①配方法②换元法③数形结合法例1、求函数223yxxx当自变量在下列范围内取值时的最值．①10x②03x③(,)x星辰教育培训中心第7页共8页例2、求函数1yxx的最大值．例3、求函数21yx在区间[2，6]上的最大值和最小值．【针对性练习】一、选择题1．函数y＝4x－x2，x∈[0，3]的最大值、最小值分别为()(A)4，0(B)2，0(C)3，0(D)4，32．函数21xxy的最小值为()(A)21(B)1(C)2(D)43、函数3(2)2yxx在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（）A.3,07B.3,02C.33,27D.最大值37，无最小值。二、填空题1．函数y＝2x2－4x－1x∈(－2，3)的值域为______．2．函数22xxy的值域为______．3、函数245(0,3yxxx的值域是。4、函数23134yxx的值域是。星辰教育培训中心第8页共8页三、解答题1．求函数0,0,2)(xxxxfx的值域．2．设函数f(x)＝(x＋a)2对于任意实数t∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．(1)求a的值；(2)如果x∈[0，5]，那么x为何值时函数y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值．3．如图，在边长是a的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值．4．已知函数y＝－3x2＋2ax－1，x∈[0，1]，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求f(a)的最大值．