函数的单调性与导数教学案

平湖市新华爱心高级中学教学案之教案课题函数的单调性与导数课型：新授课主备教：夏昌盛总课时：第6课时学习目标1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重难点教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2()4.96.510httt的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.86.5vthtt的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．备课札记如图3.3-3，导数'0()fx表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．（图3.3-3）在0xx处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；在1xx处，'0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数()fx在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是常函数．3．求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()fx的下列信息：当14x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx试画出函数()yfx图像的大致形状．解：当14x时，'()0fx，可知()yfx在此区间内单调递增；当4x，或1x时，'()0fx；可知()yfx在此区间内单调递减；当4x，或1x时，'()0fx，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()yfx图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3fxxx；（2）2()23fxxx（3）()sin(0,)fxxxx；（4）32()23241fxxxx解：（1）因为3()3fxxx，所以，'22()333(1)0fxxx因此，3()3fxxx在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23fxxx，所以，'()2221fxxx当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递增；当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx单调递减；函数2()23fxxx的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)fxxxx，所以，'()cos10fxx因此，函数()sinfxxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241fxxxx，所以．当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；当'()0fx，即时，函数2()23fxxx；函数32()23241fxxxx的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：1,2,3,4BADC思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()yfx在0,b或,0a内的图像“陡峭”，在,b或,a内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数．证明：因为'22661262612yxxxxxx当2,1x即21x时，'0y，所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数．说明：证明可导函数fx在,ab内的单调性步骤：（1）求导函数'fx；（2）判断'fx在,ab内的符号；（3）做出结论：'0fx为增函数，'0fx为减函数．例5．已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以'()0fx对1,1x恒成立，即220xax对1,1x恒成立，解之得：11a所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0fx；若函数单调递减，则'()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+x1)′=1－1·x－2=222)1)(1(1xxxxx令2)1)(1(xxx＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xxx＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)奎屯王新敞新疆四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=x1+2x3.f(x)=sinx,x]2,0[4.y=xlnx2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()yfx单调区间（3）证明可导函数fx在,ab内的单调性教学反思