函数的奇偶性与单调性练习(解析版)

函数的奇偶性与单调性练习(解析版）一、利用单调性、奇偶性解不等式1.若)(xf为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又0)3(f,则0)(xxf的解集为(3,0)(0,3).命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合性质，一元一次不等式的解集以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、不等式的解法及转化思想.错解分析：本题对不等式组的解题能力要求较高，容易漏掉小于0的情形，同时交并集的运算技能不过关，结果也难获得.技巧与方法：将0)(xxf转化为不等式组求解，或在直角坐标系中画出示意图，依据图形求解.详解：.30030)(00)(00)(xxxfxxfxxxf或或2.已知偶函数)(xf在区间[0，+∞）单调递增，则满足)31()12(fxf的x取值范围是).32,31(命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、分类讨论数学思想及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果不会分类，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：分类讨论与添加绝对值.详解一：1210,(21)(),()0+3xfxffx当时由及函数在，上是单调增函数121221,,3323xxx则得所以21=0,()0+xfx当时函数在，上是单调增函数11(0)()32ffx成立，得11210,(21)()(),33xfxff当时由()0+fx偶函数在，上是单调增函数()fx则函数在，0上是单调减函数111121,3332xxx于是得，所以11,32x综上所述，的取值范围是详解二：1()(21)(|21|)()3fxfxfxf是偶函数()0+fx又函数在，上是单调增函数11111|2-1|2133332xxx11,32x因此，的取值范围是3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范围.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0x1x2,则－x2－x10，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)得：2a2+a+13a2－2a+1.解之，得0a3.二、利用单调性、奇偶性比较大小4.如果函数f(x)在R上为奇函数，在[－1，0)上是增函数，试比较f(31),f(32),f(1)的大小关系_f(31)f(32)f(1)_.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定和逻辑推理能力.属★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、比较大小及转化思想.错解分析：本题注重考查基础知识，较易判断，可依据示意图直接得出结论.技巧与方法：利用图象法求解.详解：由题意，函数在区间0,1上是增函数，于是12()()(1)33fff三、利用单调性、奇偶性求函数值5.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1()fx，若f(1)=-5，则f(f(5))=_15__.命题意图：本题主要考查函数的周期性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对先计算f(5),然后计算结果.详解：111(3)(12),(5)(32)5,(1)5(3)ffffff1111(1)(12),(1),(1)(12)(1)5ffffff11111(3)5,(5).(32)(1)(52)(3)5ffffff一般地，若函数()fx满足1()(()0)()fxafxfx或()()fxafx，则(2)()fxafx，其中a为非0实常数.四、判断抽象函数的单调性、奇偶性6.已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x)；用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系．解答：1()()()(),0(0)2(0),(0)0.,(0)()(),()(),()fxRxyfxyfxfyxyfffyxffxfxfxfxfx显然的定义域是，关于原点对称。又函数对一切、都有令，得再令得为奇函数。(2)(3)(),(3)(3)()()(),,(12)(66)(6)(6)2(6)2(33)4(3)4fafxffafxyfxfyxyRfffffffa且为奇函数又7.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★级题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定21121xxxx的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21xxx)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(21121xxxx)∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴12121xxxx0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0∴x2－x11－x2x1,∴012121xxxx1,由题意知f(21121xxxx)0f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.8.已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为关于x的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由66603333332xxxx得且x≠0,故0x6,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－33－x2,即x2+x－60,解得x2或x－3,综上得2x6,即A={x|2x6},∴B=A∪{x|1≤x≤5}={x|1≤x6},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－21)2－413知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.