分数阶微积分-描述记忆特性与中间过程的数学工具

在我们熟悉的经典微积分里，导数都是整数阶的，我们说函数的一阶导数、二阶导数、十阶导数，而不会说函数的1/2阶导数或者阶导数；同样，对于积分，我们有一重积分、二重积分、或者五重积分等，但没有2/3重积分或者重积分等概念。其实，早在1695年9月30日，法国数学家L’Hospital在给德国数学家Leibniz的信件中就提出这样一个问题:如果采用通常使用的导数记号那么当时，这个表达式的结果是什么？Leibniz的回复是“anapparentparadoxfromwhich，oneday，usefulconsequenceswillbedrawn”。这大概就是分数阶导数概念最早的源头。经过数学家与其它领域的专家300多年不懈的努力，分数阶微积分终于受到科技工作者越来越多的注意，并逐渐认识到，分数阶微积分可能是描述一些复杂运动、不规则现象、记忆特征、中间过程等方面恰当的数学工具[1-5]。本文将对分数阶微积分作一简要介绍，主要回答什么是分数阶导数？为什么要引入分数阶导数与分数阶积分?它们有什么特点和应用?一分数阶导数的定义与计算分数阶导数是一个泛称,表示阶数取非整数(不仅仅为分数)的导数,它既表示阶数大于零时对应的分数阶导数,在不需要强调积分特有性质时也可表示阶数小于零时对应的分数阶积分。分数阶导数的定义有多种，最常用有Riemann-Liouville导数和Caputo导数。在经典微积分里，我们可以定义求导运算和求积运算如下它们满足如下关系式这表明，求导运算是求积运算的左逆运算，且这两种运算一般说来不具有交换性。进一步，对任何自然数有即求导运算是求积运算的左逆运算。现在，对连续函数，反复应用分部积分法可得因此，对非正整数，我们可以定义分数阶积分进一步，对实数，记为不超过的最大整数，取，利用导数与积分的运算公式，非整数阶的Riemann-Liouville导数定义为错误!未找到引用源。(1)如果利用,则得到非整数阶导数的Caputo定义:(2)由定义可知,分数阶导数值与起始点的取值有关。另外，两种导数在数值上可能有差异，因为一般地有。下面我们给出几个最简单的常用函数的分数阶微积分:描述记忆特性与中间过程的数学工具王在华(中国人民解放军理工大学理学院,211101南京)Riemann-Liouville分数阶导数[1]Caputo导数成立类似的导数公式[1,2]。上述公式是整数阶导数公式的直接推广，但在一般情况下，分数阶导数公式都很复杂，对乘积、商与复合运算没有简单的求导公式，计算复杂性大大增加。对周期函数，可先按Fourier级数展开，然后利用上述公式对级数逐项求导即可。同样，如果函数能够展开为幂级数,则也可以通过逐项求导得到函数的分数阶导数。需要注意的是:在经典微积分里,常数的导数等于零,但在上面最后一个公式中如果取,那么常数1的Riemann-Liouville分数阶导数不为零。另外，由定义知，常数的Caputo分数阶导数(不是分数阶积分)等于零。二分数阶导数与分数阶积分的由来从纯数学的角度讲，引入分数阶导数与分数阶积分是非常自然的事情，就像是由整数到分数、由分数到实数等由简单到复杂的必然结果。从力学与控制理论的发展需要看，也有必要引入分数阶导数与积分。力学中，理想弹性材料的弹性力与弹性变形服从Hook定律，即而理想Newton流体的应力与应变则满足如下本构方程真实的材料既不是理想固体，也不是理想流体，而是介于理想固体与理想流体之间。可看作是自身对的0阶导数，因此，将非理想材料的线性本构关系可表示为是很自然的，这里用到了分数阶导数。粘弹性材料具有记忆特性。大量实验表明，用积分方程比微分方程表示其本构关系更准确，而分数阶导数定义是一种定积分，所以分数阶微积分特别适合发展粘弹性理论。考察如下形式积分表示的记忆效应，其中称为记忆核函数。如果该过程不具有记忆效应，核函数为Dirac函数，即则积累效应函数变为。如果该过程具有理想(全)记忆，核函数为Heaviside函数,即则积累效应函数变为。直接计算无记忆和理想记忆情形对应核函数的Laplace变换分别为将其一般化。对介于无记忆和理想记忆之间的情形，假设其核函数满足由逆Laplace变换得到其中为Gamma函数,其定义是满足。此时,积累效应函数为按分数阶导数的定义,积累效应函数可表示为分数阶积分控制理论中,PID控制是最常用的控制策略之一。对振动主动控制，采用位移反馈、速度反馈和加速度反馈可分别表示为其中的位移、速度、加速度可分别视为位移的0阶导数、1阶导数和2阶导数，因而在一般情况下，状态反馈控制可取为分数阶状态反馈上述三个例子可以看作是整数阶导数与整数阶积分的纯形式推广。实际上，的确有一些真实的运动需要用分数阶导数来描述。例如，为描述与无质量的弹簧相连接的刚性薄板竖直浸入到理想流体时的径向振动,Bagley和Torvik提出了如下著名的分数阶微分方程[1,4]其中,分数阶导数项表示阻尼。从能量耗散的角度看,对任何,方程中的分数阶导数项都可以看作是阻尼[6]。三分数阶微积分的特点与应用几何上,曲线的光滑程度可以用导数来刻画。可求导数的阶数越高,曲线越光滑。宏观上光滑的曲线,在微观上可能不光滑。描述不光滑曲线的光滑程度就可以采用分数阶导数。对满足以及的实数和奇数,著名的Weiestrass函数是处处连续且处处不可导的,但它具有分数阶导数。一般说来,具有分形几何特征的函数存在分数阶导数[7]。大气湍流速度场是不可微的,风的不规则运动不能用Navier-Stokes方程组来刻画,此时,分数阶微积分可以发挥作用[5]。非线性动力学、混沌理论以及分形理论的发展大大推动了分数阶微积分的研究,今后仍然是分数阶微积分的重要发展方向之一。粘弹性理论是分数阶微积分目前应用最广泛的方向之一[1],取得了大量的研究成果,各类粘弹性阻尼振动问题以及非稳态波问题方面的应用可参考长篇综述论文[8]。用分数阶导数描述的阻尼不仅改变系统的稳定性，也改变系统的振动频率[6]。另外，基于经典微积分描述的力学“变分原理”不能直接应用于具有摩擦或其它耗散过程的非保守系统，但如果将分数阶导数引入到Lagrange函数，则可对非保守系统直接建立变分原理[9]。分数阶微积分使得Lagrange力学、Hamilton力学、Hamilton-Jacobi理论、量子波理论等在同一框架下完整地得到描述[9]。分数阶微积分在非Newton流体力学、量子力学、生物力学、反常扩散与随机游走等理论中有许多重要应用[5][10]。分数阶微积分的另一个重要应用方向是控制理论[1-4].人们将经典的PID控制推广为分数阶控制[3][4],大大扩充了控制器的设计范围,并且发现,分数阶状态反馈控制比经典状态反馈控制更精确,而且具有诸多良好的控制性能,如对增益变化有很好的鲁棒性、能抗高频噪声、易于消去静态误差等等[4]。分数阶控制的应用包括:车辆主动悬架、液压作动器、柔性机械臂、机器人等诸多运动控制问题[4][11].另外,分数阶Fourier变换是一种统一的时频变换,在信号分析与处理中具有独特性与优越性,在信号检测与重构、滤波、图像处理等方面具有较广泛的应用[12]。相对于经典微积分,分数阶微积分更加复杂,一是分数阶导数的数学运算复杂,二是含分数阶导数的系统具有复杂的动力学。这种复杂性一方面限制了分数阶微积分的广泛应用,另一方面又为复杂系统与结构的研究带来了新的机遇。随着理论与应用研究的进一步深化,分数阶微积分必将在具有记忆特征或中间过程等问题的研究中发挥更大的作用.也许,分数阶微积分是二十一世纪的微积分[2]。致谢:本文得到国家杰出青年科学基金项目10825207的资助。参考文献1.PodlubnyI.FractionalDifferentialEquations,SanDiego:AcademicPress,1999.2.DasS.FunctionalFractionalCalculusforSystemIdentificationandControls,Berlin:Springer-Verlag,20083.CaponettoR.,DongolaG.,FortunaL,PetrasI.FractionalOrderSystems:ModelingandControlApplications,NewJersey:WorldScientific,2010.4.MonjeC.A.,ChenY.-Q.,VinagreB.M.,XueD.-Y.,FeliuV.Fractional-orderSystemsandControls:FundamentalsandApplications,London:Springer-Verlag,2010.5.徐明瑜,谭文长.中间过程、临界现象—分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用.中国科学G辑:物理学力学天文学,2006,36(3):225-238.6.王在华,胡海岩.含分数阶导数阻尼的线性振动系统的稳定性.中国科学G辑:物理学力学天文学,2009,39(10):1495—1502.7.KolwankarK.M.,GangalA.D.,Fractionaldifferentiabilityofnowheredifferentiablefunctionsanddimensions.Chaos,1996,6(4):505-513.8.RossikhinYu.A.,ShitikovaM.V.,Applicationoffractionalcalculusfordynamicproblemsofsolidmechanics:Noveltrendsandrecentresults.AppliedMechanicsReviews,2010,63:010801–1-52.9.RieweF.,Mechanicswithfractionalderivatives.PhysicalReviewE,1997,53(3):3581-3592.10.TarasovV.E.,FractionalDynamics:ApplicationsofFractionalCalculustoDynamicsofParticles,FieldsandMedia,北京:高等教育出版社,2010.11.MachardoJ.A.T.,SilvaM.F.,BarbosaR.S.,JesusI.S.,ReisC.M.,MarcosM.G.,GalhanoA.F.Someapplicationsoffractionalcalculusinengineering.MathematicalProblemsinEngineering,Volume2010,ArticleID639801,doi:1155/2010/639801.12.陶然,邓兵,王越,分数阶傅里叶变换及其应用,北京:清华大学出版社,2009.