分析力学中的计算方法研究.

分析力学中的计算方法研究第一章引言1.1研究意义在实验和科学技术实践进一步发展的要求下，通过无数的争论、探讨，力学理论不断地向实用化、普遍化、数学化方面发展。总的来看，经典力学理论在牛顿以后大体是平行地沿着矢量力学和分析力学两个方面发展，前者发展成为当时工程力学各个分支，后者则推动了理论物理学各分支的发展。分析力学不仅用统一的方法解决了各种力学问题，而且其意义远远超出了经典力学的范围。人们发现，能量观点的拉氏方程，哈密顿原理及正则方程，完全适用于其它形式的物质运动，无论是在电动力学、统计物理、相对论还是量子力学、量子场论乃至基本粒子领域，都是分析基本问题的基本工具或出发点，分析力学也就成为人们跨入理论物理学和现代物理学的基础学科。1.2研究目的分析力学是一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量，以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力学》为这门学科奠定了基础。1834年和1843年W.R.哈密顿建立了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。1894年H.R.赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。1.3研究动态1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。1.4研究方法研究分析力学的方法:(1)建立原理(虚功原理、达朗贝尔原理、哈密顿原理、最小作用量原理);(2)由原理推导方程(拉格朗日第二类方程、哈密顿正则方程);(3)解方程即方程式积分(正则变换、泊松定理、哈密顿—雅可稗定理)。第二章建立原理2.1虚功原理设某力学组处在平衡状态，在组中任取一质点Pi，并设作用在质点上的主动力为iF，而约束反作用力为iN则：niNFii2,10（1）使质点Pi产生一个虚位移ir，得：nirNFiii2,10)(（2）将(2)式中各等式相加，就得到0)(1iiinirNF，或0.1iiniiiniirNrF。上式左边第一项为主动力所做的功，第二项为约束反作用力所做功。如为理想约束，则01iniirN。如力学组处在平衡状态，则其平衡条件是01iniirFw，（3）或0)(1iiiiniiizZyYxXw，（4）上式就是虚功原理的数学表示式。从公式可以看出，要使理想约束的力学组平衡，则所有作用在此力学组上诸主动力在任意虚位移下所作的元功之和等于零。上式只在不可解的约束下才能成立，无法求出约束反作用力。这一原理在各种静力学问题中经常用到，在理论上也有很大价值。2.2达朗贝尔原理动力学一般方程设由n个质点组成力学组处在平衡状态，取组中任一质点Pi，并设作用在此质点上的主动力为iF，而约束反作用力为Ni，则该力学组的运动方程可写为：iiiiNFdtrdm22(i=1,2,…….)(5)或,2,1022idtrdmNFiiii(6)上式左边第三项为惯性力。上式就是达朗贝尔原理的数学表示式。从公式可以看出，作用在一力学组中每个质点上的主动力，约束反作用力和惯性力，形成一平衡力系，这个关系叫做达朗贝尔原理。达朗贝尔原理，把作用动力学基本规律的牛顿运动方程加以变换，而作为静力学来处理的原理。2.3哈密顿原理哈密顿原理是力学里的最高原理，经典力学里最高原理和几何里的公理一样，本可不加证明，只要由它推出的所有论断，不和实际情况相抵触就行。但为了使读者信服起见，我们仍然从达朗贝尔—拉格朗日方程导出哈密顿方程。达朗贝尔—拉格朗日方程，也就是达朗贝尔原理和虚功原理的结合。由(6)式知道，达朗贝尔原理的数学表示式为:),2,1(0122nNFdtrdmniiiii给该力学组里每一质点以虚位移ir，得2210(1,2,)niiiiiidrmFNrndtd=骣÷ç÷ç-?+?÷ç÷ç÷ç桫årrrrLL(7)或),2,1(01122nrNrNFdtrdminiIiniiiii（8）由虚功原理，我们知道),2,1(0122nrFdtrdminiiii（9）（10）iiiiiiiiirrrrdtdrdtdrrrdtdrr)()()(把(10)代入(9)，得：021)(12niiIiiiiirFrmrirdtdm或iiniiniiIiirrmdtdrFrm11221或iiniiniiIiirrmddtrFrm11221或iiniittniiIiittrrmddtrFrm112212121212111221ttiiniiniiIiittrrmdtrFrm（11）因为t=t1，及t=t2:相当于轨道上的两个端点，故)2,1(021nrrtiti又Trmrmniiiiini121)21(212110tnIiitTFrdtdd=骣÷ç÷+?ç÷ç÷ç桫åòrr（12）上式就是任意力F作用的哈密顿原理的数学表达式。哈密顿原理表述:保守的、完整的力学组在相同时间内，由某一初形相转移到另一己知形相的一切可能运动中，真实运动的作用函数具有极值(即对于真实运动来讲，作用函数的变分等于零)。哈密顿原理不但可以算作力学里的最高原理，甚至可以算作整个物理学里的最高原理，只要能够写出体系(不一定是力学体系)的拉格朗日函数，就可以利用哈密顿原理求出体系的运动方程，由此可以想见它在物理学上地位的重要了。2.4最小作用量原理哈密顿原埋是1843年发表的，1744年莫培督提出了一个和哈密顿原理相类似的原理，他把iIniirdVm1叫做作用量，并认为保守的、完整的力学组，由某一初形相转到另一己形相的一切具有相同能量的可能运动中，真实运动的作用量具有极小值，人们后来把这个原理叫做最小作用量原理。它的数学表示式为0iiBAirdVm或021ttTdt用△来表示不等时的变更，亦称为全变更或全变分。最小作用最原理和哈密顿原理的主要区别在于假定不同，哈密顿原理用了等时的假定，即0t，而最小作用量原理则用了总能量相同的假定，即0E。现在我们从达朗贝尔—拉格朗日方程导出最小作用量原理。由(9)知道),2,1(01nrrmFiniiii（13）或),2,1(01nrrmFiniiii（14）)()(iiiiirdtdrrrdtdrr而()()iiiddrrrtdtdt贩D=D+Duuurrr2()()()()iiiiiiiiiiiddddrrrrrrrtrrrrrtdtdtdtdt·贩贩贩贩?轾犏\稤=稤-D+D=稤-D-D犏犏臌uururrruuurrrrrrrr（15）把(15)代入(14)，得：21111()()0nnnniiiiiiiiiiiiiiddFrmrrmrrmrtdtdt·贩?====D-稤+D+D=邋邋uururururrrr（16）由于力学组是保守的，且总能量△E=0，故1niiiFrVT=D=-D=Dårr（17）221111()22nniiiiiimrmrT贩==D=D=D邋uuuuruur(18)因为1tt=及2tt=相当于轨道上的两个端点，故120ititrrD=D=rr2110ntiiitimrr·=\稤=åurr（19）把(17)、（18）和（19）代人（16），得2211111()()()02nnnniiiiiiiiiiiiiddFrmrrmrmrtdtdt贩·====D-稤+D+D=邋邋uuruururrrr2()0dTTTtdtD+D+D=（20）两边乘dt，得2()0TdtTdtTdtD+D+D=或20TdtTdtTdtD+D+D=或220TdtTdtD+D=（21）经过积分，得()21220ttTdtTdtD+D=ò或2211220ttttTdtTdtD+D=蝌（22）所以2120ttTdtD=ò或10nBiiAimUdr=D?åòrr（23）这样，我们从达朗贝尔—拉格朗日方程导出了最小作用量原理。莫培督提出最小作用量原理时，没有给予任何证明，所以信服的人不多，故在物理上也就不如哈密顿原理那样重要。不过，我们也不应忽略这一事实，即由于最小作用量原理和光学上的弗尔玛原理(光沿着光程为极值的路径传播，也即是说光程为所有可能的光程中最小的、最大的、或稳定的)有许多类似的地方，因此它对量子力学的发展起了一定的作用，斗布洛衣和薛定愕等所创立的量子力学，一方面固然是为了解释大量的事实，另一方面，也受了力学里的最小作用量原理的启发。第三章、由原理推导方程3.1推导拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程—只适合于完整约束。一个n个质点所形成的力学组，因而它的坐标有3n个(x1,y1,z1……xn,yn,zn)，假定此学组受有k个完整约束，故只要S=3n-k个拉格朗日广义座标(q1,q2……qs)，就能够表出此力学组的运动状态了。拉格朗日第二类方程：dTTQdtqqaaa·轾犏抖犏-=犏¶犏¶犏臌()1sa=LLq广义坐标，q·广义速度如为守恒力，令L=T一V(L=拉格朗日函数)0dTTdtqqaa·抖-=¶¶()1,2sa=LL拉格朗日第二类方程，可以从哈密顿原理推导出来。210ttsLdtdd==ò如为守恒力，令L=T一V(L=拉格朗日函数)因11ssaaaLLLqqqqaaddd··==抖=+¶¶邋21110sstataaLLsqqdtqqaadddd··==轾犏抖犏\=+=犏¶犏¶犏臌邋ò（24）LdLdLqqqdtdtqqqaaaaaaddd·贩?骣骣鼢珑鼢珑抖?鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑抖?桫桫Q212111111()()0()0ssstaataaasstataaadLdLLsqqqdtdtdtqqqLLLqdtqdtqqqaaaaaaddddddd贩===贩==轾犏抖?犏\=-+=犏¶犏抖犏臌轾犏抖?犏=+-+=犏¶犏抖犏臌邋?ò邋ò（25）当t=t1和t=