分段函数教案

品优生个性化教案分段函数适用学科数学适用年级高一适用区域沈阳课时时长（分钟）90知识点1、分段函数的含义的认识2、会作分段函数的图像.3、利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题.教学目标知识与技能：1.能根据不同情境，了解分段函数的含义。2.了解简单的分段函数（函数分段不超过三段），并能运用分段函数求函数值的问题。3.能作出分段函数的图像，利用它解决生活中的简单应用问题.过程与方法：1.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，分清函数与分段函数的区别与联系；2.通过例题的探究，培养学生勤于动脑，乐于探究，主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性.3.经过训练题和课堂练习，加深对分段函数的概念、图像的认识，应用，提高分析、解决问题的能力.情感态度与价值观：学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲、感悟数学的美。教学重点1.分段函数的含义的认识2.会作分段函数的图像.3.利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题.教学难点1.分段函数与一般函数的区别与联系。2.如何作分段函数的图像（步骤、方法及技能）。3.分段函数的实际应用教学过程一、复习预习回顾一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数的定义域、值域、奇偶行及单调性。二、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析考点1分段函数定义在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数。2.对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.品优生个性化教案3.定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.4.值域：分段函数值域为各段函数值的并集.考点2分段函数的图像及求值1.分段函数图像（1）画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.（2）由分段函数的图象确定函数解析式的方法1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型.2)设函数式：设出函数的解析式.3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式.4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.2.分段函数求值分段函数函数值的方法：1.先确定要求值的自变量属于哪一段区间.2.然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.注：当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.考点3分段函数求解实际应用问题(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言.(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.三、例题精析【例题1】【题干】求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域.【答案】()fx的定义域为[1,),值域为(1,3].【解析】作图，利用“数形结合”可知。【例题2】【题干】已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx求12[()]ff.【答案】134【解析】因为311222()|1|2f,所以312223214[()]()1()13fff.【例题3】【题干】在同一平面直角坐标系中,函数()yfx和()ygx的图象关于直线yx对称,11o322-1yx-1品优生个性化教案现将()ygx的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数()fx的表达式为（）222(10).()2(02)xxxAfxx222(10).()2(02)xxxBfxx222(12).()1(24)xxxCfxx226(12).()3(24)xxxDfxx【答案】A【解析】当[2,0]x时,121yx,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111yxx,所以()22([1,0])fxxx,当[0,1]x时,21yx,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124yxx,所以12()2([0,2])fxxx,综上可得222(10)()2(02)xxxfxx【例题4】【题干】判断函数32(0)()(0)xxxfxxx的单调性.【答案】()fx在R上是单调递增函数.【解析】显然()fx连续.当0x时,'2()311fxx恒成立,所以()fx是单调递增函数,当0x时,'()20fxx恒成立,()fx也是单调递增函数,所以()fx在R上是单调递增函数;或画图易知()fx在R上是单调递增函数.【例题5】【题干】判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性.【答案】对于任意xR都有()()fxfx,所以()fx为偶函数.【解析】当0x时,0x,22()()(1)(1)()fxxxxxfx,当0x时,(0)(0)0ff,当0x,0x,22()()(1)(1)()fxxxxxfx因此,对于任意xR都有()()fxfx,所以()fx为偶函数.四、课堂运用【基础】-12131o-2yx品优生个性化教案1.画出函数y=|x|的图象.2.已知函数y=.4,2,40,2,0,42xxxxxxx(1)求f{f［f(5)］}的值;(2)画出函数的图象.3.已知奇函数()fx(xR)，当x0时，()fx=x(5－x)+1.求()fx在R上的表达式。4.已知1,1,1)2()(xaxxaxfx满足对任意21xx都有02121)()(xxxfxf成立，则a的取值范围是．5.已知f(x)＝2a2，x＜2，loga2－，x≥2，且f(2)＝1，求f(1)的值6.函数y＝|x－3|－|x＋1|有()A．最大值4，最小值0B．最大值0，最小值－4C．最大值4，最小值－4D．最大值、最小值都不存在答案和解析：1.解析：由绝对值的概念,我们有y=0.xx,-0,xx,所以函数图像如图所示。2.∵54,∴f(5)=-5+2=-3.∵-30,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1.∵014,∴f{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1.（2）3.∵()fx是定义域在R上的奇函数，∴(0)f=0.又当x＜0时，－x0,故有()fx=－x[5－(－x)]+1=－x(5+x)+1。品优生个性化教案再由()fx是奇函数,()fx=－()fx=x(5+x)－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)xxxfxxxxx4.[23,2)由于对任意21xx都有0)()(2121＞xxxfxf成立，)(xf在R上5.∵f(2)＝loga(22－1)＝loga3＝1，∴a＝3，∴f(1)＝2×32＝18.6.y＝|x－3|－|x＋1|＝－4(x≥3)2－2x(－1＜x＜3)4(x≤－1)，因此y∈[－4,4]，故选C.【巩固】1.已知函数22(0)()()0)xxxfxgxx　(为奇函数，则((1))fg()A、－20B、－18C、－15D、172.设函数0,0,)(2＞xxxxxf若f(a)=4,则实数a=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或23.函数1,31,1)(22＞xxxxxxf，则f()的值为()A.B.C.D.184.设函数2()2gxx，()4,(),()(),().gxxxgxfxgxxxgx求()fx的值域．答案及解析1.答案C解析：由已知得，3)1()1(fg，所以，15)3()3())1((ffgf2.答案B解析：当a≤0时，由-a=4,得a=-4;品优生个性化教案当a＞0时，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2.3.答案C解析：98)31(1)31())3(1(131,3333)3(122ffffx，所以＜又，＞∵4.【解析】令,xgx解得1x或2x．∴()4,(),()(),().gxxxgxfxgxxxgx222,(,1)(2,)2,[1,2]xxxxxx2217(),(,1)(2,)2419(),[1,2]24xxxx∴当(,1)(2,)x时，()fx(2,)；当[1,2]x时，()fx9[,0]4；∴()fx的值域为9[,0](2,)4．【拔高】1.已知实数0a，函数1212xaxxaxxf，若afaf11，求a的值2.已知函数112012xccxcxxfcx，满足f(c2)＝98，(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)＞28＋1.答案及解析：1.解：分类讨论：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－32，不符合题意，舍去．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－34.综合(1)，(2)知a的值为－34.品优生个性化教案2.解(1)依题意知0＜c＜1，∴c2＜c，∵f(c2)＝98，∴c3＋1＝98，所以：c＝12(2)由(1)得f(x)＝12x＋1，0＜x＜12，2－4x＋1，12≤x＜1，由f(x)＞28＋1，得当0＜x＜12时，12x＋1＞28＋1，∴24＜x＜12.当12≤x＜1时，2－4x＋1＞28＋1，∴12≤x＜58.综上可知，24＜x＜58.∴f(x)＞28＋1的解集为x24＜x＜58.课程小结1、分段函数：即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数.2、作分段函数的图像的步骤和方法：（1）化简函数解析式。（2）写出分段函数解析式。（3）作分段函数的图像:在不同的定义域内作出相应的函数图像。3、分段函数与一般函数的区别与联系：①函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;②分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;一般函数的图像是不间断的（连续的），而分段函数的图像可能连续，也可能间断。课后作业【基础】1.．设函数1221(0)()(0)xxfxxx,若0()1fx,则0x得取值范围是（）.(1,1)A.(1,)B.(,2)(0,)C.(,1)(1,)D品优生个性化教案2.．设函数2(1)(1)()41(1)xxfxxx,则使得()1fx的自变量x的取值范围为（）A．(,2][0,10]B.(,2][0,1]C.(,2][1,10]D.[2,0][1,10]3.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()．A．2800元B．3000元C．3800元D．3