分类讨论思想在圆中的应用

分类讨论思想在圆中的应用老河口市三中胡华斌分类讨论思想包含着一个命题的题设和结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答。需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，一一作解，得出各种情况的相应结论,最后综合归纳出问题的正确答案。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。灵活巧妙地运用分类讨论思想解题，可化繁为简，达到事半功倍的效果。下面就平时教学中出现的问题说明此思想在圆中的广泛应用。例1、点P到⊙O上一点的最长距离为10，最短距离为6，求⊙O的直径。分析：在解此题时，不少同学都只考虑了点在圆外的情况，得出一种结果。正解：①当点P在⊙O外时AB=PB-PA=4；②当点P在⊙O内时AB=PB+PA=16。例2、在直径为50的⊙O中，弦AB=40，CD=48且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。分析：此题应考虑两弦和圆心的位置；①两弦在圆心的两侧时，EF=OE+OF=15+7=22②两弦在圆心的同侧时EF=OE－OF=15-7=8例3、⊙O中直径为10，弦AB=8，求弓形的高。分析：弓形的高是弦和劣弧围成的弓形还是弦和优弧围成的弓形的高。①CD=OD-OC=5-3=2②CD=OD+OC=5+3=8例4、在⊙O中，直径为12，弦AB=33，点C是圆上不同于A、B的点，求∠ACB的度数。分析：点C在劣弧上，还是在优弧上。①点C在优弧上时，∠ACB=12∠AOB=60°；②点C在劣弧上时，∠ACB=12（360°－∠AOB）=120°。BAOPOABPFEODCBAFEBACDOAOCBBCOADCOBACDAOB例5、在⊙O中，直径AB=2，弦AC=2，弦AD=3，求∠CAD的度数。分析：连结BC、BD，AB是直径，∠ACB=∠ADB=90°，可计算出∠CAB=45°，∠DAB=30°①当AC、AD在AB的两侧时，∠CAD=45°+30°=75°②当AC、AD在AB的同侧时，∠CAD=45°－30°=15°例6、⊙O的半径R=5，直线l上有一点P，且OP=5，试判断直线l和⊙O的位置关系。分析：因为R=5，OP=5不少同学都认为直线与圆是相切的，漏掉一种情况；①当OP⊥l时，直线与圆相切；②当OP与l不垂直时，直线与圆相交。例7、⊙1O和⊙2O交于A、B两点，⊙1O的半径为10、⊙2O的半径为17，公共弦AB=16，求1O2O的长。分析：考虑圆心和弦的位置，应分圆心在公共弦的两侧和异侧两种情况；①当圆心在AB的两侧时，1O2O=2OC+1OC=15+6=21；②当圆心在AB的异侧时，1O2O=2OC－1OC=15－6=9。例8、已知相切两圆的半径分别为3和5，求圆心距d的值。分析：两圆相切分外切和内切两种。①两圆外切时，d=5+3=8；②两圆内切时，d=5－3=2。OPPOO2O1AO2O1A例9、若两圆相内切，一圆的半径为8，圆心距d=3，求另一圆的半径R。分析：两圆虽然相内切，但是哪个圆的半径大？故分两种情况；①当大圆的半径为8时，8-R=d,d=5；②当小圆的半径为8时，R-8=d,d=11。例10、已知⊙1O和⊙2O相外切，1R=1、2R=2，半径为3的⊙O与两圆都相切，求满足条件的圆个数。分析：⊙O与⊙1O和⊙2O相切，应分与两圆都外切；与两圆都内切；与一圆外切，另一圆内切三类；①与⊙1O和⊙2O都外切时，有2个圆；（图1）图1②与⊙1O和⊙2O都内切时，有1个圆；（图2）③与⊙1O内切且与⊙2O外切时，有1个圆；与⊙1O外切且与⊙2O内切时，有1个圆；（图3）图2图32007年8月O2O1AAO1O2OOO2O1OO2O1OOO2O1