分类讨论思想在数学实际问题中的应用

分类讨论思想在数学问题中的应用安丘市职工子弟一中双语实验学校赵海英李功玲2011、32011初中数学复习研讨交流材料当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，……等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。那什么是分类讨论思想呢？分类讨论思想又称“逻辑划分思想”，它是把所有要研究的数学对象划分成若干不同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想。分类讨论思想是初中阶段解决数学问题时经常用到的一种重要数学思想，它是教学的难点，也是近年来中考的热点内容之一。作为数学教师，既要对分类讨论思想有一个全面的了解，又要在教学中采取切实有效的措施不断提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力。那么如何在中考复习中提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力，我认为应从以下几点做起：一、了解分类的原因引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a＝0、a0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax2时分a0、a＝0和a0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。二、掌握分类的原则（1）分类中的每一部分是相互独立地；（2）一次分类必须是同一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。三、遵循分类的步骤解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。分类讨论问题常与开放探索型问题综合在一起，贯穿于代数、几何的各个数学知识板块，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都须有扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。四、把握分类思想热点内容：(1).实数的分类。(2).绝对值、算术根020aaaaaa(3).各类函数的自变量取值范围(4).函数的增减性：0,0,kkyxykyxx时随的增大而增小时随的增大而减大0,20,aayaxbxc时抛物线开口向上时抛物线开口向下(5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。(6).三角形的分类、四边形的分类现举例说明分类思想在数学问题中的应用一、根据函数的性质分类[例1]一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值为()A.14B.-6C.-4或21D.-6或14解：分k＞0和k＜0两种情况进行讨论.(1)若k＞0时，函数图象y随x的值增大而增大，所以当x=-3时，y=1，当x=1时，y=9，即，解这个方程组得：k=2，b=7，∴kb=2×7=14.(2)若k＜0时，函数图象y随x的值增大而减小，所以当x=-3时，y=9，当x=1时，y=1，即，解这个方程组得：k=-2，b=3，∴kb=-2×3=-6.0,0,kyxkyxykxb时随的增大而增大时随的增大而减小综合(1)、(2)知，kb的值为14或-6.故本题正确答案应选(D).二、根据字母(或代数式)取值分类[例2]已知abc≠0，且，那么直线y=px+p一定通过()A.第一、二、三象限B.第二、三象限C.第二、三、四象限D.第一、四象限解：∵abc≠0，故由等比性质可分两种情况讨论：(1)若a+b+c≠0时，由等比性质知：，此时直线y=2x+2必通过第一、二、三象限.(2)若a+b+c=0时，即a+b=-c，此时p=-1，故直线y=-x-1必通过第二、三、四象限.综合(1)、(2)所知，直线y=px+p必过第二、三象限.故正确答案为(B).三、根据图形位置变化分类[例3]若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，则∠O1AO2的度数为()A.105°B.75°或15°C.105°或15°D.15°解：由圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆心之间，也可以在两圆心同旁.(1)若两圆心公共弦AB在两圆之间时，如图A，在Rt△AO1C中，AC=1，AO1=2，∴∠AO1C=30°；在Rt△AO2C中，=1，所以∠AO2C=∠45°，即∠O1AO2=105°；(2)若两圆的公共弦在两圆心的同旁时，如图(B)，如(1)中的解法得∠O1AC=60°，∠O2AC=45°，∴∠O1AO2=60°-45°=15°综合(1)、(2)知，∠O1AO2的度数为105°或15°，故正确答案应选(C).四、根据绝对值的性质分类[例4]已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是()A.a＞-1B.a=1C.a≥1D.都不对解：由已知方程显然可知x≠0，故按x＞0和x＜0两种情况进行讨论.(1)若x＜0时，则，由，有a＞-1；(2)若x＞0时，则，当x＞0a＜1，根据题设方程无正根，于是a＜1不成立，从而a≥1成立.综合(1)、(2)知a≥1，应选(C).五、根据定义、公式性质和运算法则分类[例5]若关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是()A.0，1B.0，1，2C.1D.1，2，3解：根据方程k的取值，原方程可分一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论.(1)若k=0时，则原方程为一元一次方程，即方程-4x+3=0有实数根，故k=0满足条件.(2)若k≠0时，则原方程为一元二次方程，由△=(-4)2-4k·3≥0有，所以k=1.综合(1)、(2)所知，k的非负整数值是0，1，故应选(A).[例6]已知a，b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，则的值等于____.解：根据已知条件，对a与b的关系分两种情况讨论：(1)若a≠b时，a，b是方程x2-2x-1=0的两个不等的实根，则a+b=2，ab=-1∴(2)若a=b时，则综合(1)、(2)知：的值等于-6或2.六、按自然数进行奇偶分类[例7]若n为大于1的整数，则的值是()A.一定是偶数B.一定是奇数C.是偶数但不是2D.可以是偶数或奇数解：∵n是大于1的整数，可按n为偶数和n为奇数两种情况分类讨论.(1)若n为大于1的奇数时，则p=n2+n-1，p为奇数；(2)若n为大于1的偶数时，则p=n+1必是奇数；综合(1)、(2)知，p一定是奇数，故应选(B).2010中考题分类思想应用赏析：1、（2010年浙江台州市）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．【关键词】一次函数、分类思想【答案】（1）①当0≤x≤6时，xy100；②当6＜x≤14时，设bkxy，∵图象过（6，600），（14，0）两点，∴.014,6006bkbk解得.1050,75bk∴105075xy．∴).146(105075)60(100xxxxy（2）当7x时，5251050775y，757525乙v（千米/小时）．x/小时y/千米600146OFECD（第20题）x/小时y/千米600146OFECD（第1题）ABCOPQDyx2、（2010.綦江中考）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．(1)求该抛物线的解析式．(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若存在，请说明理由．总之，在解答数学问题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性，而且就问题本身来说也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决。这时就需要从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决，也就是“化整为零”、“各个击破”，这种处理问题的思想就是分类讨论思想。为次，我们在教学过程中，必须注意培养和提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力。