创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答

1创新奥数五年级春季第三讲整数的分拆习题解答练习题：1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5。第1个数与第6个数分别是几？解答：15，40。这7个数中第4个数是中间数，它是这7个数的平均数，即210÷7=30。因为相邻2数的差都是5，所以这7个数是15，20，25，30，35，40，45。故第1个数是15，第6个数是40。2．将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则至多可以分成多少组？解答：15组。解：因为要求任意两个组的人数不相等，且分得的组要尽可能地多，所以，要使每个组分得的人数尽可能地少。由于1+2+3+4+…+14+15=120，所以将135人分成每组人数不等的15个组后还余15人。剩下的15人不能再组成一个或几个新的小组，否则就会出现两个或两个以上的组的人数相等的情况。因此，应将剩下的15人安插在已分好的15个组之中，所以至多可以分成15个组。这15个组各组人数可以有多种情况，例如，分别是2，3，4，5，6，…，14，15，16人。3．把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？解答：972。解：要使乘积尽可能大，把19分成的几个自然数中，3要尽量多且不能有1，所以应把19分成5个3及1个4的和。最大乘积为35×4=972。4．把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？解答：有999种方法，分成999+1000时积最大。5．把456表示成若干个连续自然数的和。要求写出所有的表达式（如9可以有两种表达形式：9=4+5=2+3+4）。解答：456有三个大于1的奇约数3，19，57。可得如下三种分拆方法：456＝151+152+153＝15+16+17+…+33＝21+22+23+…+366．几个连续自然数相加，和能等于2000吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案。如果不能，说明理由。解答：能。提示：2000=24×53，有三个大于1的奇约数5，25，125。对于5，有k=5，a=398；对于25，有k=25，a=68；对于125，有k=32，a=47。所以2000共有如下三种分拆方法：2000＝398+399+400+401+402＝68+69+70+…+91+92＝47+48+49+…+77+787．把70分拆成11个不同自然数的和，这样的分拆方式一共有多少种？将不同的表示方法列举出来。解答：5种。解：1+2+3+…+11=66，现在要将4分配到适当的加数上，使其和等于70，又要使这11个加数互不相等。先将4分别加在后4个加数上，得到4种分拆方法：70＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+152＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11＝1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11＝1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11。再将4拆成1+3，把1和3放在适当的位置上，仅有1种新方法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12。再将4拆成1+1+2或1+1+1+1+1或2+2，分别加在不同的位置上，都得不出新的分拆方法，故这样的分拆方法一共有5种。8．有一把长为13厘米的直尺，在上面刻几条刻度线，使得这把尺子能一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。问：至少要刻几条线？要刻在哪些位置上？解答：至少要刻4条线，例如刻在1，4，5，11厘米处，便可一次量出1到13厘米的所有整厘米的长度。这是因为由1，4，5，11，13这5个数以及它们之间任意2个的差能够得到1到13这13个整数，见下列各式：5-4=1，13-11=2，4-1=3，11-5=6，11-4=7，13-5=8，13-4=9，11-1＝10，13-1＝12。下面我们来证明，只有3个刻度是不够的。如果只刻了3条线，刻在a厘米、b厘米、c厘米处（0＜a＜b＜c＜13），那么a，b，C，13两两之差（大减小），只有至多6个不同的数：13-a，13-b，13-c，c-a，c-b，b-a，再加上a，b，c，13这4个数，至多有10个不同的数，不可能得到1到13这13个不同的整数来。顺便说明一下，刻法不是唯一的。例如我们也可以刻在1厘米、2厘米、6厘米、10厘米这4个位置上。创新奥数五年级春季第四讲约数与倍数习题解答练习题：1．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？解答：求最大公约数，最多可分成40份同样的礼物，每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个鸭梨.2．将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）解答：假设锯完后小木块的边长为a，那么把锯得的所有小木块堆起来，适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状.这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数，反过来说a就是3.57、1.05、0.84的公约数.另外还要求小木块体积最大，也就是要求小木块的边长a最大.所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数.因为3.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米，又所以a=（357，105，84）=3×7=21.当小木块边长为21厘米时，其体积最大.3．四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。解答：9，11，13，15。36435=32×5×11×13=9×11×13×5，因为［9，11，13，5］=［9，11，13，15］，所以这四个连续奇数是9，11，13和15。解答：黄鼠狼比狐狸先掉入陷阱.当黄鼠狼第一次掉进陷阱时，狐狸跳了2140米。5．ba,两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。解答：24和36。6．两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？解答：12，72与24，36两组。72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组：①12×1=12，12×6=72；②12×2=24，12×3=36。7．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？解答：解：（54，72）=18，54÷18=3，72÷18=4，说明小亮走4步等于爸爸走3步，其中脚印重合一次，留下4+3-1=6（个）脚印。所以花圃周长54×4×（60÷6）=2160（厘米）=21.6（米）。8．两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。解答：这两个数可能为18和180、36和90。9．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？解答：爷爷70岁，小明10岁。两人的年龄差分别是6、5、4、3、2、1的倍数，为60。10．有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少？解答：1111=11×101，11=1＋2＋3＋5，所以最大公约数最大能是101。11．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。解答：奇数个约数的数一定是完全平方数。361、400、441、484、529、576、625．12．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？4．4解答：甲、乙两数的公倍数即是甲的倍数，就必须包含甲的全部的质因数；乙也是。最小公倍数是公倍数中最小的一个，因此必须包含甲、乙全部公有的质因数和各自独有的质因数，即：最小公倍数一定是这两个数中的质因数，两个数以外的质因数一定不是它们最小公倍数的质因数。因此：分析最小公倍数中的质因数是解题关键。∵[甲，乙]＝90＝2×32×5[乙，丙]＝105＝3×5×7[甲，丙]＝126＝2×32×7∴甲独有质因数2（如果乙也有，那么乙和丙的最小公倍数的质因数中也必须含有2）。同理，乙独有质因数5，丙独有质因数7。且乙和丙至多含有一个质因数3，即甲须含有2个质因数3，∴甲＝2×32＝四年级暑期奥数习题第一课：和倍、差倍问题1、胜利小学开展冬季体育比赛，参加跳绳的人数是打球的人数的4倍，比打球的人多72人，参加跳绳和打球的人各是多少人？2、生产队利用山地种了一批核桃树和红果树，核桃树的棵数是红果树的2倍多95棵，已知核桃树比红果树多1455棵，两种树各种了多少棵？3、家具厂二季度比一季度多生产轴承1200件，三季度比二季度多生产2800件，三季度生产的是一季度的3倍，求各季度生产轴承多少件？4、小红和小李两人的存款相同，小红取出60元，小李存入20元后，小李的存款是小红的3倍，两人的存款各是多少元？5、生产队养的公鸡比母鸡多249只，养的公鸡是母鸡的4倍，求公鸡、母鸡各多少只？6、学校购买的足球是排球的3倍，足球比排球多18只，购买足球和排球各多少只？7、农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少8亩，第一块的面积是第二块的3倍，问两块试验田各多少亩？8、仓库有面粉和大米两种粮食，面粉比大米多4500千克，面粉的千克数比大米的3倍还多700千克，问面粉和大米各多少千克？9、参加少年宫科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人，问今年有多少人参加？10、父亲比儿子大30岁，明年父亲的岁数是儿子的3倍，那么今年儿子是几岁？11、两数的和是40，甲数比乙数大8，求甲数、乙数各是多少？12、买一件衣服，共需360元，裤子比上衣便宜136元，那么买一件上衣和一条裤子各需多少元？第二课：和差问题[解题技巧：（和+差）÷2=大数（和－差）÷2=小数]例1甲乙两生产组有车床96台，如果甲组给乙组8台，则两组的台数相等，问两组原来各有多少台？例2甲乙两箱共有水果50千克，若从甲箱中取出6千克放到乙箱中，这时甲箱还比乙箱多2千克，求两箱原来各有多少箱？5例3三辆车运木板9800块，第一辆比其余两辆共运的少1400块，第二辆比第三辆多运200块，三辆车各运多少块？例4一只三层书架上共放书108本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，上、中、下三层各有书多少本？1、甲乙两条公路共长4355千米，甲公路比乙公路长155千米，问两条公路各长多少千米？2、甲乙两人的岁数和是33岁，甲比乙大3岁，问甲乙各多少岁？3、黄山茶场共有红茶树、绿茶树1440棵，如果红茶树增加600棵，绿茶树减少600棵，则两种茶树的棵数相等，两种茶树各有多少棵？4、红光小学一年级共有新生104人，分成甲乙两个班，如果从甲班中转2个学生到乙班去，两班学生就一样多，问甲乙两班原有各有学生多少人？5、甲乙两筐共有梨97千克，从甲筐中取出14千克放到乙筐中，结果甲筐的梨比乙筐的梨还多3千克，求两筐原来各有梨多少筐？6、两鸡笼共有鸡15只，若甲鸡笼再放入4只，乙鸡笼取出2只，这时乙鸡笼比甲鸡笼多1只，顺甲乙两鸡笼原来各有鸡多少只？7、小明期终考试的语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分，问语文和数学各多少分？8、四年级有学生48人，暑期中5人学会了游泳，这样会游泳的学生比不会游泳的学生多16人，原来会游泳的有多少人？9、把长128厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多18厘米，长和宽各是多少厘米？10、某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有工人多少人？6第三课：还原问题例1小明爷爷今年的年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，请你算一算，小明爷爷今年几岁？例2华联商厦出售