全国中学生物理竞赛11天体运动种种

开普勒三定律面积定律轨道定律周期定律万有引力定律2GMmFr牛顿运动定律32akT2222GMmvmmrrTrt3t4Bt2t1A行星太阳ba机械能守恒赤道平面轨道极地轨道其它轨道角速度周期速度加速度与轨道半径关系轨道半径R中心天体半径R00020GMagR2GMagR21aR0000GMvRgRGMvRgR1vR300022RRTgGM322RRTgGM3TR0300gGMRR3gGMRR31R20GMmFR引F引mωF向202FmRT向20202GMmGmRTRmF引F向202cosFmRT向地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供！22mMmRMRmMRMRmmMMRLMmmRLMm,mMmMvvRRmMvMvmmMaMam★模型特征：故有之二：∵角速度相同，即之三：∵两天体做圆周运动的向心力大小相等，之四：之一：两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引力，大小相等，即★模型规律：ORmmMRMvMvmω两颗相近的天体绕它们连线上的某点（质心Ｏ）以共同的角速度做匀速圆周运动.222GMmMmLLTMm由32LTGMm之五：双星系统动量守恒GMm2mR22RT4G33R2R422RT23GT地球公转轨道平面日DXQCh对北半球而言,在冬季过近日点,夏季过远日点t3t4Bt2t1A行星太阳ba1122abvtavtbabvavbababvv如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公转轨道，Ch、Q、X、D分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时地球所在的位置．试说明，一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因．地球公转轨道平面日DXQCh由面积定律:321224TRgR同步轨道半径设为R1同步卫星轨道在影区的弧所对圆心角2θ，有θ11sinRR因卫星在影区、不反射阳光而看不到的时间为tT112RTg由2θR某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射．R132124sinRgTT极地卫星周期为hTnT每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为322hRhTRg每次应拍摄3224RhRlnTg侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面重力加速度为g，地球自转的周期为T.3201RhTTRh故222GMmmrTr⑴由322210RhTRhT知022TT321RhRh卫星下方地面处于东经3211180RhRh0180⑵移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地球自转了θ角，有电视转播用的“地球同步卫星”的轨道高度为h，转动周期为T0；卫星定位系统用的某“移动卫星”沿通过地球的南北两极的圆形轨道运行，离地面高度为H，地球半径为R0．⑴该移动卫星连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？⑵该移动卫星某时刻恰位于经度为0度的赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时，下方地面的经度是多少？要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径R=6.37×106m．地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2．3020022RRTgRg2200324TRgR44.210km2210322436006410104解答同步轨道半径设为R同步,其覆盖经度范围的几何关系如图:RR同步116.37coscos01428.RR同步758115615654恰能覆盖东经75°的卫星定位:恰能覆盖东经135°的卫星定位:1358154读题同步轨道半径设为R0：2020GMRR由302GMR得卫星在同步轨道的引力势能为0pGMmER同动能：2200GMmvmRR由002kGMmGMmGMmERhRR空3218kGMmRhGME空02kGMmER同卫星在空间站的引力势能为pGMmERh空由机械能守恒：地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为．可供航天员居住与进行科学实验的空间航天站离地面高度为h，若在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？LMM(1)32222423222LMMLGGMNTLL3312MNL根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M,两者间相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．⑴试计算该双星系统的运动周期；⑵若实验上观测到运动周期为，且,为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质．作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观察结果确定该星系间这种暗物质的密度．1TTN::322LTGM22222GMLMTL由F星F暗22GMmvmLL黑(1)由353.610M黑可得kg(2)天文学家根据观察宣布了下列研究成果，银河系中可能存在一个大“黑洞”，距黑洞60亿千米的星体以2000km/s的速度绕其旋转，接近“黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，试计算“黑洞”的质量和最大半径．2GMvcR黑逃max22GMRC黑11351626.67103.61091085.310m“大爆炸学说”认为：宇宙是很久以前发生的一次大爆炸使聚集于某处的物质分离开来而成的，直到现在，这大爆炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相对速率相互远离．观察表明：离我们越远的星系远离我们飞去的速度越大．例如，牧夫座内一星云离我们银河系的距离为2.74×109Ly(Ly为“光年”，而1Ly=9.46×1015m)，它正以3.93×107m/s的速率飞离银河系．若大爆炸后形成的各星系分别是以不同的速率从大爆炸前物质的聚集处沿各个方向匀速飞离，则在下列两种情况下求宇宙的年龄T．⑴假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率V1和V2沿相反方向飞离大爆炸前物质的聚集处；⑵假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率V1和V2沿夹角为θ的两个方向飞离在大爆炸前物质的聚集处．s9157122.74109.4610(1)3.9310sstvvv相a821010⑵两天体分离速度成角度时，相对速度情况如图所示v1v2v相对θs91572.74109.46103.9310stv相a821010M1M2CR60°60°地、月在相互间的万有引力作用下，绕它们的连线上的一点C做等角速度的转动．太空城的首选位置在月球轨道上与月球及地球等距的地方，如图所示．这里，太空城在地、月引力共同作用下，相对于地、月均处于平衡．试证明，太空城在这里所受地、月引力的合力作用线指向Ｃ．地球月球太空城C设地球质量为M1，月球质量为M2，地球与月球间距离为R，如图122212121222cos60tan3()sin60GMGMMMRRGMGMMMRR2122tan32MRRMMR设太空城所受合力作用线与地、月连线的中垂线夹角为α，太空城所在位置和C点的连线与中垂线夹角为β，则F1F2F12123()MMMM估算空间太阳能电站一昼夜间由于被地球遮挡而不能发电的最长时间．取地球本影长为地球半径的216倍，同步轨道高度为地球半径的5.5倍．日地卫星影110000coscosRRnRRtTRR0nR0min1111coscos2166.52460t61min估算从地球表面向火星发射火星控测器．设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径R0的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图甲．当探测器脱离地球引力并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图乙所示．已知地球半径为：Rr=6.4×106m；地球公转周期为：Te=365天，（时间计算仅需精确到日）⑴求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间；⑵通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？331.51.840;1.251.400解答飞船太阳地球火星地球探测器o60甲乙⑴由开三律:23323671.15eeeTRTTTR火火火日255t日233321.252511eeeeTRTTTRR探探火日则探测器沿半椭圆运动时间为⑵探测器沿半椭圆运动时间内火星通过的角度为360255137671则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成43°!36036017365671t由38t日从3月1日探测器与火星的角距离成60°经38天到4月8日时成43°读题v0bacde2012GMmEmvr0E2dvGMr0EbvGMr0E2evGMr轨道与能量引力势能2012GMmEmvr恒量轨道与能量两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒．角动量若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律．物体在受有心力作用而绕着中心天体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力心的力矩为零，故系统的角动量守恒．即．sinmvr恒量示例模型与方法A1A2AnA3r1rnMm物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置．在中心引力场中，m从A1移至无穷远处，引力做负功为：121limniiniiGMmWrrr12231111111limnnnGMmrrrrrr111limniiniiirrGMmrr1111limnniiiGMmrr111nGMmrr