初三同步辅导材料(第4讲)一元二次方程

1初三同步辅导材料（第4讲）一元二次方程主讲：何炳均（南京市一中高级教师）一、教学进度：第十二章一元二次方程12.3一元二次方程的根的判别式12.4一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1.理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；2．能根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值或取值范围和进行有关的证明；3．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；4．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和；二、重点、难点剖析1．一元二次方程的根的判别式是学习一元二次方程的主要内容之一．一般地说，学习时的难度并不大，但有几个问题要弄清楚：(1)对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，代数式b２－4ac叫做根的判别式，用“△＝b２－4ac”表示．写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为标准形式，凡不是标准形式的一元二次方程，都应当通过去括号、移项、合并等步骤化为标准形式.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。①当时，方程有两个不相等的实数根。即②当时，方程有两个相等的实数根，即。③当时，方程没有实数根。(2)判别式的作用是可以由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是：①判别式与判别式的值是有区别的，判别式是一个代数式，我们确定方程根的情况是用它的值去判定；②判别式的作用只是判别根的情况(指有无实数根)，而不能确定实数根的值．如方程3x2－2x－5＝0，根据△＝(－2)２－4·3·(－5)＝4＋60＝64＞0，可确定此方程有两个不相等的实数根，至于这两个根是什么数，还是要通过解方程去求得．虽然判别式不能确定方程的根的大小，但由于对方程根的情况清楚了，显然对解题是有帮助的，如对于整系数方程3x２－2x－5＝0由于△＝64是一个完全平方数，因此可判断方程的根是有理数,因而我们2解此方程时可以直接运用十字相乘方法把方程分解为两个一次方程：x＋1＝0,或3x－5＝0，同样，如果△＝0，那么方程ax２＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，x1＝x2＝－ab2．∴方程的根为x1＝x2＝－422＝22．其实,此时方程的左边可以化为一个完全平方式:)12(x2．2.由方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x1,2＝aacbb242(b2－4ac≥0)不难得到x1＋x2＝－ab,x1·x2＝ac.这就是一元二次方程的根与系数关系(也称韦达定理).在学习和应用上述定理时要注意以下几点:1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0);2.运用韦达定理的前提是方程有实数根；3.韦达定理不仅可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);4.要防止出现x1＋x2＝ab这样的错误.三、典型例题例1m取什么值时，方程3x２－2(3m－1)x＋3m２－1＝0(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解△＝［－2(3m－1)］２－4·3·(3m２－1)＝－24m＋16当－24m＋16＞0，即m＜32时，方程有两个不相等的实数根；当－24m＋16＝0，即m＝32时，方程有两个相等的实数根；当－24m＋16＜0，即m＞32时，方程没有实数根．例2已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值．解∵方程有两个相等的实数根，∴△＝［－(3－a)］２－4·［－(3a＋b２)］＝a２－6a＋9＋12a＋4b２＝(a＋3)２＋4b２＝0由非负数的性质得a＝－3,b＝0．(为求a、b值就要寻求关于a、b的等式，根据方程根的判别式的取值情况即可得到等式或不等式，这里分析利用非负数的性质是解题的关键)例3当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根?＂方程有实数根＂，这句话的含义，是指方程有不相等或相等的两个实数根，即△≥0．解∵方程有实数根，∴△≥0，即△＝［2(1＋a)］２－4·(3a２＋4ab＋4b２＋２)≥0整理后可得(1－a)２＋(a＋2b)2≤0∵(1－a)2≥0,(a＋2b)２≥0，∴上述不等式只能有＂＝＂成立，即1－a＝0且a＋2b＝0，则a＝1,b＝－21例4判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况．分析不难看出，这是与判别式有关的问题，但有两点应当引起注意：(1)二次方程的二次项系数不为零，即2(m＋1)≠0,∴m≠－1；3(2)根的情况还不知道，需要去探求，它取决于判别式的值是正数、零或是负数．解△＝(4m)２－4·2(m＋1)(2m－1)＝－8m＋8；又2(m＋1)≠0，即m≠－1；－8m＋8＞0m≠－1，即m＜1且m≠－1时，方程有两个不相等的实数根；－8m＋8＝0m≠－1，即m＝1时，方程有两个相等的实数根；－8m＋8＜0m≠－1，即m＞1时，方程没有实数根．提醒大家，(1)的解答中，且m≠－1的条件是不可少的，因为数－1在m＜1的范围内；而(2)、(3)的解答中，若在解答中写上“且m≠－1”就不对了，因为m＝－1不在m＞1的范围内．例5当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?分析我们已讲过，当△＝0时,方程ax２＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，也就是方程的左边ax２＋bx＋c是个完全平方式:a(x＋ab2)2,因此这类问题仍然与判别式有关．解当方程x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2＝0有两个相等的实数根时，原二次三项式是完全平方式．令△＝［2(m－4)］２－4(m２＋6m＋2)＝0整理后得－56m＋56＝0∴m＝1则当m＝1时，原二次三次式是完全平方式．例6求证：方程x２－(m＋1)x＋2m＝0必有两个不相等的实数根．解这类题时，常常会出现这样的错误：∵△＞0，∴［－(m＋1)］２－4·2m＞0，即m２＋1＞0.∴方程必有两个不相等实数根.这是不可忽视的错误(实际是逻辑上的错误)，为什么这样做是错的呢?这是由于△＞0不是题中已经给出的明显条件，而是要你说出△＞0的道理，只有把道理讲清楚，才能表明结论正确，这与几何的证明题是十分相似的．证明∵△＝(m＋1)２－2m＝m２＋1而不论m为任何实数，总有m２≥0则m２＋1＞0，即△＞0,∴原方程必有两个不相等的实数根.例7已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．分析这是一道代数、几何知识的综合题，解题前应当明确：(1)从条件知，问题与判别式有关，又因原方程不是标准形式，所以必须先将方程化为标准形式；(2)判断△ABC的形状常从边，或角的方面去考虑，从题设条件可知，本题应从边的关系去判断．解将原方程化为(c＋b)x２－2ax＋(c－b)＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴△＝(－2a)２－4(c＋b)(c－b)＝0；即a２＋b２＝c２；∴△ABC是直角三角形．例8已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)中，b＞0,c＜0,则().(A)方程有两个正根(B)方程有两个负根(1)当(2)当(3)当4(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大(D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大解∵a＞0,c＜0，∴ac＜0,∴b2－４ac＞0.故方程必有两个不等的实数根.由x1·x2＝ac＜0,知x1、x2两根异号,故排除(A)、(B),又x1＋x2＝－ab＜0,故负根的绝对值较大,∴选(D).评析本例中，条件a＞0,c＜0是方程有实数根的隐含条件.这一点在解题时要引起重视,一般地,当ac＜0时,方程有一个正根和一个负根.(想一想,为什么?)例9如果2＋3是方程x2－4x＋c＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c的值.解设方程的另一个根为x1,根据根与系数关系,得x1＋(2＋3)＝4①x1·(2＋3)＝c②由①得x1＝2－3,则c＝(2－3)(2＋3)＝1∴方程的另一个根及c的值分别为2－3和1.注：也可将x1＝2＋3代入方程求得c，再由①或②式求出x２．例10设x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,不解方程,求112112xxxx的值.解∵x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,∴x1＋x2＝－23,x1·x2＝－21.则112112xxxx＝)1)(1(21121222xxxxxx＝1)()(2)(21212121221xxxxxxxxxx＝1)23(21)23()21(2)23(2＝－47这类题是常见题,解题的规律是通过恒等变形把原代数式化为用二次方程两根和与积表示的代数式.如:x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2;21212111xxxxxx;212122121212221122)(xxxxxxxxxxxxxx;(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2;(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m·(x1＋x2)＋m2……等等.但不是任何一个代数式都能用两个根的和与积表示的,如x13＋x22.例11k为何值时,方程x2－(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.分析解这类问题,首先应当考虑二次方程是否有实数根,只有在有实数根的前提下,才能利用根与系数的关系.解∵方程有实数根,∴△＝[－(2k－1)]2－4(k2－1)≥0,即k≤45.设方程的两实数根为x1、x2，则根据题意得x1·x2＝k2－1＝1∴k＝2.∵k＝2不满足k≤45,舍去.∴当k＝－2时,方程的两根互为倒数.5例12已知a、b是方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个实数根,且a2＋b2＝1,求m的值.解由根与系数关系得,a＋b＝－43m,a·b＝812m.由已知得a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1即:(－43m)2－2·812m＝1整理后得9m2－8m－20＝0.解得m1＝2,m2＝－910.当m＝2时,原方程即8x2＋12x＋5＝0,其判别式△＝122－4·8·5＜0,∴m＝2舍去;当m＝－910时,原方程即72x2－60x－11＝0,其判别式△＝602＋4·72·11＞0∴所求的m的值为－910.例13已知a2＋a－1＝0,b2＋b－1＝0(a≠b).求a2b＋ab2的值.分析从已知条件可以看出，a、b是方程x2＋x－1＝0的两根，由于a2b＋ab2＝ab(a＋b)，故而所求代数式系a、b两数积与两数和的积，这就容易联想到二次方程的根与系数的关系.解由已知条件可知,a、b是方程x2＋x－1＝0的两个不等的实数根,则a＋b＝－1,a·b＝－1故a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝（－1）·(－1)＝1.例14已知方程3x2－2x－4＝0,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方.解设原方程的两根为x1、x2.则x1＋x2＝32，x1·x2＝－34.(这是原方程根与系数的关系)设所求的方程为y2＋py＋q＝0，它的两根为y1、y2。则p＝－(y1＋y2)，q＝y1·y2.(设所求方程的二次项系数为1，是为了简化运算）由已知,y1＝211xx＝23y2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝952(这是解决问题的关键，用它沟通了所求方程的根与原方程根之间的联系.)则p＝－(y1＋y2)＝－(23＋952)＝－18131,q＝y1y2＝23·952＝326,∴所求的方程为y2－18131y＋326＝0.即18y2－131y＋156＝0.巩固练习一、选择题1．若关于x的一元二次方程2x(mx－4)－x２＋6＝0没有实数根，则m的最小整数值是()(A)－1(B)2(C)3(D)42．已知方程x２－p